Номер 704, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 704, страница 167.

704. Решите систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ xy=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3+y\\ \left(3+y\right)y=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3+y\\ y^2+3y+2=0\end{array}\right. \\ {y}^2+3y+2=0 \\ D=3^2-4·1·2=9-8=1 \\ y=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}, y=\frac{-3\pm 1}{2} \\ {y}_1=-1, y_2=-2 \end{gathered}$$

Если y=-1, то x=3+(-1)=2,

если y=-2, то x=3+(-2)=1

Ответ: (2; -1), (1; -2)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left\{\begin{array}{l}x+y=2,5\\ xy=1,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2,5-y\\ \left(2,5-y\right)y=1,5\end{array}\right. \\ 2,5y-y^2-1,5=0 \\ -y^2+2,5y-1,5=0 \\ D={\left(2,5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-1,5\right)=6,25-6=0,25 \\ y=\frac{-2,5\pm \sqrt{0,25}}{-2}; y=\frac{-2,5\pm 0,5}{-2} \\ {y}_1=1, y_2=1,5 \end{gathered}$$

Если y=1, то x=2,5-1=1,5,

если y=1,5, то x=2,5-1,5=1

Ответ: (1,5; 1), (1; 1,5)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }} \left\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ x^2+y^2=1\end{array}\left\{\begin{array}{l}x=-1-y\\ {\left(-1-y\right)}^2+y^2=1\end{array}\right.\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-1-y\\ 1+2y+y^2+y^2-1=0\end{array}\right. \\ 2y^2+2y=0 \\ 2y\left(y+1\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}y=0& \text{ или }& y+1=0\\ & & y=-1\end{array} \end{gathered}$$

Если y=0, то x=-1-0=-1,

если y=-1, то x=-1-(-1)=0

Ответ: (-1; 0), (0; -1)

$\mathbf{\text{г)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x^2-y^2=17\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=17\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ 2\left(x+y\right)=17\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x+y=8,5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=10,5\\ x-y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5,25\\ 5,25-y=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5,25\\ y=3,25\end{array}\right.$

Ответ: (5,25; 3,25)

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = -2; \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 3$.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y + 3)y = -2$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$y^2 + 3y = -2$

$y^2 + 3y + 2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$:

1. Если $y_1 = -1$, то $x_1 = y_1 + 3 = -1 + 3 = 2$.

2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = y_2 + 3 = -2 + 3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; -1)$ и $(1; -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 2,5, \\ xy = 1,5; \end{cases} $

Данная система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим в это уравнение известные значения суммы и произведения $x$ и $y$:

$t^2 - 2,5t + 1,5 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2t^2 - 5t + 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Корни уравнения $t_1=1,5$ и $t_2=1$ являются решениями системы для $x$ и $y$. Это означает, что возможны две пары решений.

Ответ: $(1,5; 1)$ и $(1; 1,5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1; \end{cases} $

Возведем первое уравнение в квадрат:

$(x+y)^2 = (-1)^2$

$x^2 + 2xy + y^2 = 1$

Мы знаем, что $x^2 + y^2 = 1$ из второго уравнения системы. Подставим это значение в полученное уравнение:

$(x^2 + y^2) + 2xy = 1$

$1 + 2xy = 1$

$2xy = 0$

$xy = 0$

Теперь исходную систему можно заменить на эквивалентную, но более простую:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ xy = 0; \end{cases} $

Из второго уравнения $xy=0$ следует, что либо $x=0$, либо $y=0$. Рассмотрим оба случая:

1. Если $x=0$, подставим это в первое уравнение: $0 + y = -1$, откуда $y = -1$. Получаем решение $(0; -1)$.

2. Если $y=0$, подставим это в первое уравнение: $x + 0 = -1$, откуда $x = -1$. Получаем решение $(-1; 0)$.

Ответ: $(0; -1)$ и $(-1; 0)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 - y^2 = 17; \end{cases} $

Во втором уравнении воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Подставим в это тождество известные значения из системы:

$17 = (2)(x+y)$

Отсюда можем найти значение выражения $x+y$:

$x+y = \frac{17}{2} = 8,5$

Теперь мы имеем систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x + y = 8,5; \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x-y) + (x+y) = 2 + 8,5$

$2x = 10,5$

$x = \frac{10,5}{2} = 5,25$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение $x-y=2$:

$5,25 - y = 2$

$y = 5,25 - 2 = 3,25$

Система имеет единственное решение.

Ответ: $(5,25; 3,25)$.