Номер 699, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Графический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 699, страница 164.

699. Решите графически систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4=0\\ y^2-9=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}(x-2)(x+2)=0\\ (y-3)(y+3)=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x-2=0 \text{или} x+2=0\\ y-3=0 \text{или} y+3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2 \text{или} x=-2\\ y=3 \text{или} y=-3\end{array}\right.$

Ответ: (2;3), (-2;3), (2;-3), (-2;-3)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков являются решениями системы.

Рассмотрим первое уравнение системы: $x^2 - 4 = 0$. Преобразуем его: $x^2 = 4$. Это уравнение распадается на два: $x = 2$ и $x = -2$. Графиком уравнения $x=2$ является вертикальная прямая, которая проходит через точку $(2, 0)$ и параллельна оси ординат (OY). Графиком уравнения $x=-2$ является вертикальная прямая, которая проходит через точку $(-2, 0)$ и также параллельна оси ординат. Таким образом, график первого уравнения представляет собой пару вертикальных прямых.

Рассмотрим второе уравнение системы: $y^2 - 9 = 0$. Преобразуем его: $y^2 = 9$. Это уравнение распадается на два: $y = 3$ и $y = -3$. Графиком уравнения $y=3$ является горизонтальная прямая, которая проходит через точку $(0, 3)$ и параллельна оси абсцисс (OX). Графиком уравнения $y=-3$ является горизонтальная прямая, которая проходит через точку $(0, -3)$ и также параллельна оси абсцисс. Таким образом, график второго уравнения представляет собой пару горизонтальных прямых.

Для нахождения решения системы найдем точки пересечения построенных графиков. Две вертикальные прямые ($x=2$ и $x=-2$) пересекаются с двумя горизонтальными прямыми ($y=3$ и $y=-3$). Каждая вертикальная прямая пересекает каждую горизонтальную, что в итоге дает четыре точки пересечения. Координаты этих точек и являются решениями системы:

• пересечение прямых $x=2$ и $y=3$ дает точку $(2; 3)$;
• пересечение прямых $x=2$ и $y=-3$ дает точку $(2; -3)$;
• пересечение прямых $x=-2$ и $y=3$ дает точку $(-2; 3)$;
• пересечение прямых $x=-2$ и $y=-3$ дает точку $(-2; -3)$.

Ответ: $(2; 3)$, $(2; -3)$, $(-2; 3)$, $(-2; -3)$.