Номер 703, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Алгебраический способ решения систем уравнений. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 703, страница 167.

703. Решите систему уравнений, используя способ подстановки:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\left\{\begin{array}{l}x=3-y\\ y^2-x=39\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=3-y\\ y^2-\left(3-y\right)=39\end{array}\right. \\ {y}^2-3+y-39=0 \\ {y}^2+y-42=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-42\right)=1+168=169 \\ y=\frac{-1\pm \sqrt{169}}{2}; y=\frac{-1\pm 13}{2} \\ {y}_1=6; y_2=-7 \end{gathered}$$

Если y=6, то x=3-6=-3,

Если y=-7, то x=3-(-7)=10

Ответ: (-3;6), (10;-7)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left\{\begin{array}{l}y=1+x\\ x+y^2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=1+x\\ x+{\left(1+x\right)}^2=-1\end{array}\right. \\ x+1+2x+x^2+1=0 \\ {x}^2+3x+2=0 \\ D=3^2-4·1·2=9-8=1 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}; x=\frac{-3\pm 1}{2} \\ {x}_1=-1, x_2=-2 \end{gathered}$$

Если x=-1, то y=1+(-1)=0,

Если x=-2, то y=1+(-2)=-1

Ответ: (-1,0), (-2,-1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y=14\\ y-x=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=8+x\\ x^2+8+x=14\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=8+x\\ x^2+x-6=0\end{array}\right. \\ {x}^2+x-6=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-6\right)=1+24=25 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}, x=\frac{-1\pm 5}{2} \\ {x}_1=2, x_2=-3 \end{gathered}$$

Если x=2, то y=8+2=10,

Если x=-3, то y=8+(-3)=5

Ответ: (2;10), (-3;5)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left\{\begin{array}{l}x+y=4\\ y+xy=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=4-y\\ y+y\left(4-y\right)=6\end{array}\right. \\ y+4y-y^2-6=0 \\ -y^2+5y-6=0 \\ D=5^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)=25-24=1 \\ y=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{-2}; y=\frac{-5\pm 1}{-2} \\ {y}_1=2; y_2=3 \end{gathered}$$

Если y=2, то x=4-2=2,

Если y=3, то x=4-3=1

Ответ: (2;2), (1;3)

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 3 - y \\ y^2 - x = 39 \end{cases} $

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение $x = 3 - y$ во второе уравнение системы:

$ y^2 - (3 - y) = 39 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$ y^2 - 3 + y = 39 $

$ y^2 + y - 42 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2 $

Найдем корни для $y$:

$ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 $

$ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя уравнение $x = 3 - y$.

Если $y_1 = 6$, то $ x_1 = 3 - 6 = -3 $.
Если $y_2 = -7$, то $ x_2 = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10 $.

Таким образом, система имеет два решения: $(-3; 6)$ и $(10; -7)$.

Ответ: $(-3; 6), (10; -7)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 1 + x \\ x + y^2 = -1 \end{cases} $

В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение $y = 1 + x$ во второе уравнение:

$ x + (1 + x)^2 = -1 $

Раскроем скобки и упростим:

$ x + (1 + 2x + x^2) = -1 $

$ x^2 + 3x + 1 = -1 $

$ x^2 + 3x + 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $

Найдем корни для $x$:

$ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1 $

$ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2 $

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = 1 + x$.

Если $x_1 = -1$, то $ y_1 = 1 + (-1) = 0 $.
Если $x_2 = -2$, то $ y_2 = 1 + (-2) = -1 $.

Таким образом, получаем два решения: $(-1; 0)$ и $(-2; -1)$.

Ответ: $(-1; 0), (-2; -1)$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y = 14 \\ y - x = 8 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$ y = 8 + x $

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$ x^2 + (8 + x) = 14 $

Упростим и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$ x^2 + x + 8 - 14 = 0 $

$ x^2 + x - 6 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $

Найдем корни для $x$:

$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 $

$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 $

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя выражение $y = 8 + x$.

Если $x_1 = 2$, то $ y_1 = 8 + 2 = 10 $.
Если $x_2 = -3$, то $ y_2 = 8 + (-3) = 5 $.

Система имеет два решения: $(2; 10)$ и $(-3; 5)$.

Ответ: $(2; 10), (-3; 5)$.

г) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ y + xy = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$ y = 4 - x $

Подставим это выражение во второе уравнение:

$ (4 - x) + x(4 - x) = 6 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 4 - x + 4x - x^2 = 6 $

$ -x^2 + 3x + 4 = 6 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$ -x^2 + 3x - 2 = 0 $

Умножим уравнение на -1 для удобства решения:

$ x^2 - 3x + 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2, следовательно, корни $x_1=1$ и $x_2=2$. Также можно найти корни через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $

$ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2 $

$ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1 $

Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 4 - x$.

Если $x_1 = 2$, то $ y_1 = 4 - 2 = 2 $.
Если $x_2 = 1$, то $ y_2 = 4 - 1 = 3 $.

Система имеет два решения: $(2; 2)$ и $(1; 3)$.

Ответ: $(2; 2), (1; 3)$.