Страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

733. Какие случаи надо выделить при решении уравнения bx + 2x = 3b + 6 с параметром b? Найдите корни уравнения в каждом из этих случаев.

$$\begin{gathered} bx+2x=3b+6 \\ x\left(b+2\right)=3b+6 \\ x=\frac{3b+6}{b+2} \\ x=\frac{3\left(b+2\right)}{b+2} \\ x=3 \end{gathered}$$

При $b+2\ne 0; b\ne -2; x=3,$

$\begin{array}{cl}\text{при} b=-2;& -2x+2x=3\left(-2\right)+6\\ & 0x=0\\ & x - \text{любое число}\end{array}$

Ответ: при b=-2, x - любое число;

при b≠-2, x=3

Для решения уравнения $bx + 2x = 3b + 6$ с параметром $b$ необходимо сначала преобразовать его, приведя к виду $Ax = B$. Для этого вынесем $x$ за скобки в левой части и общий множитель в правой.

$x(b + 2) = 3(b + 2)$

Решение этого линейного уравнения зависит от коэффициента при $x$, то есть от выражения $(b + 2)$. Поэтому нужно выделить два случая: когда этот коэффициент не равен нулю, и когда он равен нулю.

Случай 1: $b + 2 \ne 0$

Этот случай имеет место, когда $b \ne -2$. В этой ситуации мы можем разделить обе части уравнения на выражение $(b + 2)$, так как оно отлично от нуля.

$x = \frac{3(b + 2)}{b + 2}$

После сокращения дроби получаем единственный корень:

$x = 3$

Ответ: при $b \ne -2$ уравнение имеет один корень $x = 3$.

Случай 2: $b + 2 = 0$

Этот случай имеет место, когда $b = -2$. Подставим это значение в преобразованное уравнение $x(b + 2) = 3(b + 2)$:

$x(-2 + 2) = 3(-2 + 2)$

$x \cdot 0 = 3 \cdot 0$

$0 = 0$

В результате мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что при $b = -2$ решением уравнения является любое число.

Ответ: при $b = -2$ уравнение имеет бесконечно много корней (корень — любое число).