Страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

792. Сумма положительных чисел a и b равна 40. При каких значениях a и b их произведение будет наибольшим?

$$\begin{gathered} a>0, b>0 \\ a+b=40; a=40-b \\ ab=\left(40-b\right)b=-b^2+40b=-\left(b^2-40b\right)= \\ =-\left(b^2-2·20b+20^2-20^2\right)= \\ =-\left({\left(b-20\right)}^2-400\right)=-{\left(b-20\right)}^2+400 \end{gathered}$$

Произведение ab будет наибольшим при $b=20b=20$, тогда $a=40-b=40-20=20a=40-b=40-20=20$

Ответ: при $a=20, b=20$

По условию задачи, сумма двух положительных чисел $a$ и $b$ равна 40. Это можно записать в виде уравнения:

$a + b = 40$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Нам необходимо найти такие значения $a$ и $b$, при которых их произведение $P = a \cdot b$ будет наибольшим.

Для решения этой задачи выразим одну переменную через другую. Из уравнения $a + b = 40$ выразим $b$:

$b = 40 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения $P$:

$P = a \cdot (40 - a)$

$P(a) = 40a - a^2$

Мы получили функцию $P(a)$, которая представляет собой квадратичную зависимость. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что парабола имеет точку максимума в своей вершине.

Координату $a$ вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находят по формуле $a_в = - \frac{B}{2A}$.

В нашем случае, для функции $P(a) = -a^2 + 40a$, коэффициенты равны $A = -1$ и $B = 40$. Найдем значение $a$, при котором произведение достигает максимума:

$a = - \frac{40}{2 \cdot (-1)} = - \frac{40}{-2} = 20$

Мы нашли значение $a$. Теперь найдем соответствующее значение $b$, используя связь $a+b=40$:

$b = 40 - a = 40 - 20 = 20$

Найденные значения $a=20$ и $b=20$ являются положительными, что удовлетворяет условию задачи. Таким образом, произведение будет наибольшим, когда числа равны.

Ответ: Произведение будет наибольшим при значениях $a = 20$ и $b = 20$.

793. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}0,8x^2-19,8x-5=0 \\ D={\left(-19,8\right)}^2-4·0,8·\left(-5\right)=392,04+16=408,04 \\ x=\frac{19,8\pm \sqrt{408,04}}{1,6}; x=\frac{19,8\pm 20,2}{1,6} \\ {x}_1=\frac{40}{1,6}=\frac{400}{16}=25 \\ {x}_2=\frac{-0,4}{1,6}=-\frac{4}{16}=-\frac{1}{4} \\ 0,8x^2-19,8x-5=0,8\left(x-25\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)= \\ =\left(x-25\right)\left(0,8x+0,2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3,5-3\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}{x}^2=0 \\ \frac{2}{3}{x}^2-\frac{10}{3}x+3,5=0\mathrm{/}·3 \\ 2x^2-10x+10,5=0 \\ D={\left(-10\right)}^2-4·2·10,5=100-84=16 \\ x=\frac{10\pm \sqrt{16}}{4}; x=\frac{10\pm 4}{4} \\ {x}_1=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}=3,5 \\ {x}_2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5 \\ 2x^2-10x+3,5=\frac{2}{3}\left(x-3,5\right)\left(x-1,5\right)= \\ =\left(2x-7\right)\left(\frac{x}{3}-0,5\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{x}^2+x\sqrt{2}-2=0 \\ D={\left(\sqrt{2}\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=2+8=10 \\ x=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{10}}{2} \\ {x}^2+x\sqrt{2}-2=\left(x-\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{x}^2-x\sqrt{6}+1=0 \\ D={\left(-\sqrt{6}\right)}^2-4·1·1=6-4=2 \\ x=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2} \\ {x}^2-x\sqrt{6}+1=\left(x-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right) \end{gathered}$$

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2+bx+c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

а) $0,8x^2 - 19,8x - 5$

Сначала решим квадратное уравнение $0,8x^2 - 19,8x - 5 = 0$.

Коэффициенты: $a = 0,8$, $b = -19,8$, $c = -5$.

Для удобства вычислений умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $8x^2 - 198x - 50 = 0$.

Сократим уравнение, разделив его на 2: $4x^2 - 99x - 25 = 0$.

Теперь найдем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-99)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 9801 + 400 = 10201$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{10201} = 101$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 + 101}{2 \cdot 4} = \frac{200}{8} = 25$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 - 101}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0,25$.

Теперь подставим корни $x_1=25$ и $x_2=-0,25$ и коэффициент $a = 0,8$ в формулу разложения:

$0,8x^2 - 19,8x - 5 = 0,8(x - 25)(x - (-0,25)) = 0,8(x - 25)(x + 0,25)$.

Ответ: $0,8(x - 25)(x + 0,25)$.

б) $3,5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^2$

Перепишем трёхчлен в стандартном виде $ax^2+bx+c$:

$\frac{2}{3}x^2 - 3\frac{1}{3}x + 3,5$.

Решим соответствующее уравнение $\frac{2}{3}x^2 - 3\frac{1}{3}x + 3,5 = 0$.

Преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби: $a = \frac{2}{3}$, $b = -3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$, $c = 3,5 = \frac{7}{2}$.

Уравнение примет вид: $\frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2} = 0$.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (6), чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2}) = 0 \implies 4x^2 - 20x + 21 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 21 = 400 - 336 = 64$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Подставим корни и коэффициент $a = \frac{2}{3}$ в формулу разложения:

$\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2})$.

Ответ: $\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2})$.

в) $x^2 + x\sqrt{2} - 2$

Решим уравнение $x^2 + x\sqrt{2} - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = \sqrt{2}$, $c = -2$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 2 + 8 = 10$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{10}$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{10}}{2}$.

Корни: $x_1 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ и $x_2 = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$.

Так как $a=1$, формула разложения имеет вид $(x-x_1)(x-x_2)$. Подставляем найденные корни:

$(x - \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})(x - \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})$.

Упростим выражение, раскрыв внутренние скобки:

$(x + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})(x + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})$.

Ответ: $(x + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})(x + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})$.

г) $x^2 - x\sqrt{6} + 1$

Решим уравнение $x^2 - x\sqrt{6} + 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -\sqrt{6}$, $c = 1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 6 - 4 = 2$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2}$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-\sqrt{6}) \pm \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{2}$.

Корни: $x_1 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$.

Подставим корни в формулу разложения $(x-x_1)(x-x_2)$:

$(x - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})(x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $(x - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})(x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})$.

794. Зная, что коэффициенты квадратного трёхчлена (n – 3)x² + (n + 1)x + 9 – 2n — натуральные числа, найдите этот трёхчлен.

$$\begin{gathered} \left(n-3\right)x^2+\left(n+1\right)x+9-2n \\ \left\{\begin{array}{l}n-3\ge 1\\ n+1\ge 1\\ 9-2n\ge 1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n\ge 4\\ n\ge 0\\ 1+2n\le 9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n\ge 4\\ n\ge 0\\ 2n\le 8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n\ge 4\\ n\ge 0\\ n\le 4\end{array}\right. \\ n=4 \\ \left(4-3\right)x^2+\left(4+1\right)x+9-2·4=x^2+5x+1 \end{gathered}$$

Ответ: $x^2+5x+1x^2+5x+1$

Дан квадратный трёхчлен $(n - 3)x^2 + (n + 1)x + 9 - 2n$. Коэффициентами этого трёхчлена являются выражения:

• $a = n - 3$ (коэффициент при $x^2$)
• $b = n + 1$ (коэффициент при $x$)
• $c = 9 - 2n$ (свободный член)

По условию, все три коэффициента — натуральные числа. Натуральные числа — это целые положительные числа $\{1, 2, 3, ...\}$. Это означает, что каждый из коэффициентов должен быть больше или равен 1. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} n - 3 \ge 1 \\ n + 1 \ge 1 \\ 9 - 2n \ge 1 \end{cases} $

Решим эту систему относительно $n$:

1. Из первого неравенства $n - 3 \ge 1$ получаем $n \ge 1 + 3$, то есть $n \ge 4$.

2. Из второго неравенства $n + 1 \ge 1$ получаем $n \ge 1 - 1$, то есть $n \ge 0$. Это условие слабее, чем $n \ge 4$, поэтому оно не сужает множество решений.

3. Из третьего неравенства $9 - 2n \ge 1$ получаем $9 - 1 \ge 2n$, то есть $8 \ge 2n$, откуда $4 \ge n$ или $n \le 4$.

Мы получили два условия для $n$: $n \ge 4$ и $n \le 4$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим этим условиям одновременно, это $n = 4$.

Подставим найденное значение $n = 4$ в выражения для коэффициентов, чтобы убедиться, что они являются натуральными числами:

• $a = 4 - 3 = 1$
• $b = 4 + 1 = 5$
• $c = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1$

Все коэффициенты $1, 5, 1$ являются натуральными числами, что соответствует условию задачи.

Теперь найдём сам трёхчлен, подставив $n = 4$ в его исходное выражение:
$(4 - 3)x^2 + (4 + 1)x + (9 - 2 \cdot 4) = 1 \cdot x^2 + 5x + 1 = x^2 + 5x + 1$.

Ответ: $x^2 + 5x + 1$.

795. Зная, что m — целое число, найдите целые корни трёхчлена mx² + (m – 3)x – 3.

$$\begin{gathered} m{x}^2+(m-3)x-3=0 \\ D={\left(m-3\right)}^2-4m·\left(-3\right)=m^2-6m+9+12m= \\ =m^2+6m+9={\left(m+3\right)}^2 \\ x=\frac{-\left(m-3\right)\pm \sqrt{{\left(m+3\right)}^2}}{2m} \\ {x}_1=\frac{-m+3+m+3}{2m}=\frac{6}{2m}=\frac{3}{m} \\ {x}_2=\frac{-m+3-m-3}{2m}=\frac{-2m}{2m}=-1 \end{gathered}$$

Если m=-1, то x₁=-3; x₂=-1,

если m=-3; то x₁=-1; x₂=-1,

если m=1, то x₁=3; x₂=-1,

если m=3, то x₁=1; x₂=-1

Ответ: -3 и -1; -1 и -1; 3 и -1; 1 и -1

Для того чтобы найти целые корни трёхчлена $mx^2 + (m - 3)x - 3$, приравняем его к нулю, где $x$ — искомый целый корень, а $m$ — целое число по условию.

$mx^2 + (m - 3)x - 3 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, чтобы разложить её на множители. Для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$mx^2 + mx - 3x - 3 = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$mx(x + 1) - 3(x + 1) = 0$

Теперь можно вынести за скобку общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(mx - 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это даёт нам два возможных случая для нахождения корней.

Случай 1: $x + 1 = 0$

Из этого уравнения находим корень $x = -1$. Поскольку $-1$ является целым числом, это один из искомых корней. Этот корень существует при любом целом значении параметра $m$, так как при подстановке $x = -1$ в исходное выражение оно обращается в ноль независимо от $m$: $m(-1)^2 + (m-3)(-1) - 3 = m - m + 3 - 3 = 0$.

Случай 2: $mx - 3 = 0$

Из этого уравнения получаем $mx = 3$. Так как по условию $m$ — целое число, а мы ищем целые корни $x$, то $x$ должен быть целым делителем числа 3.

Целыми делителями числа 3 являются числа $1, -1, 3, -3$. Проверим, для каждого ли из этих делителей существует соответствующее целое значение $m$:

• Если $x = 1$, то $m \cdot 1 = 3$, откуда $m = 3$. Это целое число.
• Если $x = -1$, то $m \cdot (-1) = 3$, откуда $m = -3$. Это целое число.
• Если $x = 3$, то $m \cdot 3 = 3$, откуда $m = 1$. Это целое число.
• Если $x = -3$, то $m \cdot (-3) = 3$, откуда $m = -1$. Это целое число.

Таким образом, все перечисленные значения $x$ могут быть корнями данного трёхчлена при некоторых целых значениях $m$.

Собирая все найденные возможные целые корни из обоих случаев, получаем множество: $\{-3, -1, 1, 3\}$.

Ответ: $-3, -1, 1, 3$.

796. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2m^2-8}{m^2+6m+8}=\frac{2\left(m^2-4\right)}{\left(m+2\right)\left(m+4\right)}= \\ =\frac{2\left(m-2\right)\left(m+2\right)}{\left(m+2\right)\left(m+4\right)}=\frac{2m-4}{m+4} \\ {m}^2+6m+8=0 \\ D=6^2-4·1·8=36-32=4 \\ m=\frac{-6\pm \sqrt{4}}{2}; m=\frac{-6\pm 2}{2} \\ {m}_1=-2; m_2=-4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2m^2-5m+2}{mn-2n-3m+6}=\frac{2\left(m-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\left(m-2\right)}{n\left(m-2\right)-3\left(m-2\right)}=\frac{2m-1}{n-3} \\ 2m^2-5m+2=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·2·2=25-16=9 \\ m=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}; m=\frac{5\pm 3}{4} \\ {m}_1=2; m_2=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

а) $ \frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8} $

Чтобы сократить дробь, разложим на множители её числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $ 2m^2 - 8 $. Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2(m^2 - 4) $. Затем применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ к выражению в скобках:

$ 2(m^2 - 4) = 2(m-2)(m+2) $.

2. Разложим на множители знаменатель $ m^2 + 6m + 8 $. Это квадратный трёхчлен вида $ am^2+bm+c $. Для разложения на множители решим квадратное уравнение $ m^2 + 6m + 8 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна $ -6 $, а их произведение равно $ 8 $. Легко подобрать корни: $ m_1 = -2 $ и $ m_2 = -4 $. Тогда разложение имеет вид $ a(m-m_1)(m-m_2) $:

$ m^2 + 6m + 8 = 1 \cdot (m - (-2))(m - (-4)) = (m+2)(m+4) $.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $ (m+2) $ (при условии, что $ m \neq -2 $):

$ \frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8} = \frac{2(m-2)(m+2)}{(m+2)(m+4)} = \frac{2(m-2)}{m+4} $.

Ответ: $ \frac{2(m-2)}{m+4} $.

б) $ \frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6} $

Для сокращения дроби разложим на множители её числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $ 2m^2 - 5m + 2 $. Для этого решим квадратное уравнение $ 2m^2 - 5m + 2 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $.

Найдем корни уравнения: $ m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5+3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $; $ m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5-3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Используя формулу разложения $ a(m-m_1)(m-m_2) $, получаем: $ 2(m-2)(m-\frac{1}{2}) = (m-2)(2(m-\frac{1}{2})) = (m-2)(2m-1) $.

2. Разложим на множители знаменатель $ mn - 2n - 3m + 6 $, используя метод группировки.

Сгруппируем слагаемые: $ (mn - 2n) + (-3m + 6) $. Вынесем общие множители из каждой группы:

$ n(m-2) - 3(m-2) $.

Теперь вынесем общий множитель $ (m-2) $ за скобки: $ (m-2)(n-3) $.

3. Подставим полученные разложения в дробь и сократим общий множитель $ (m-2) $ (при условии, что $ m \neq 2 $):

$ \frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6} = \frac{(m-2)(2m-1)}{(m-2)(n-3)} = \frac{2m-1}{n-3} $.

Ответ: $ \frac{2m-1}{n-3} $.

797. Выполните действие:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{x+4}{x-1}-\frac{37x-12}{4x^2-3x-1}=\frac{x+4}{x-1}- \\ -\frac{37x-12}{4\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)(x-1)}=\frac{x+4}{x-1}-\frac{37x-12}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{\left(x+4\right)\left(4x+1\right)-\left(37x-12\right)}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{4x^2+x+16x+4-37x+12}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{4x^2-20x+16}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{4\left(x^2-5x+4\right)}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{4\left(x-4\right)\left(x-1\right)}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{4x-16}{4x+1} \\ 4x^2-3x-1=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·4·\left(-1\right)=9+16=25 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{25}}{8}; x=\frac{3\pm 5}{8} \\ {x}_1=1; x_2=-\frac{1}{4} \\ {x}^2-5x+4=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{5\pm 3}{2} \\ {x}_1=4; x_2=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+3x+2=0 \\ D=3^2-4·1·2=9-8=1 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}; x=\frac{-3\pm 1}{2} \\ {x}_1=-1; x_2=-2 \\ \frac{x-1}{x+2}-\frac{1-x}{x^2+3x+2}=\frac{x-1}{x+2}-\frac{1-x}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}= \\ =\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)-\left(1-x\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2-1-1+x}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}= \\ =\frac{x^2+x-2}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x-1}{x+1} \\ {x}^2+x-2=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{-1\pm 3}{2} \\ {x}_1=1; x_2=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{x}^2-x-20=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-20\right)=1+80=81 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{81}}{2}; x=\frac{1\pm 9}{2} \\ {x}_1=5; x_2=-4 \\ \frac{7x-x^2}{x+4}·\frac{x^2-x-20}{7-x}=\frac{x\left(7-x\right)}{x+4}·\frac{\left(x-5\right)\left(x+4\right)}{7-x}= \\ =\frac{x\left(x-5\right)}{1}=x^2-5x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x^2+11x+30}{3x-15}:\frac{x+5}{x-5}=\frac{\left(x+5\right)\left(x+6\right)·\left(x-5\right)}{3\left(x-5\right)·\left(x+5\right)}= \\ =\frac{x+6}{3} \\ {x}^2+11x+30=0 \\ D=11^2-4·1·30=121-120=1 \\ x=\frac{-11\pm \sqrt{7}}{2}; x=\frac{-11\pm 1}{2} \\ {x}_1=-5; x_2=-6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}{x}^2-3x-4=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)=9+16=25 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{3\pm 5}{2} \\ {x}_1=4; x_2=-1 \\ \frac{2x^2-7}{x^2-3x-4}-\frac{x+1}{x-4}=\frac{2x^2-7}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}- \\ -\frac{{\left(x+1\right)}^2}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}=\frac{2x^2-7-\left(x^2+2x+1\right)}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}= \\ =\frac{2x^2-7-x^2-2x-1}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2-2x-8}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}= \\ =\frac{\left(x-4\right)\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}=\frac{x+2}{x+1} \\ {x}^2-2x-8=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)=4+32=36 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{2\pm 6}{2} \\ {x}_1=4; x_2=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}-x^2+x+2=0 \\ D=1^2-4·\left(-1\right)·2=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-2}; x=\frac{-1\pm 3}{-2} \\ {x}_1=-1; x_2=2 \\ -x^2+x+2=-\left(x+1\right)\left(x-2\right) \\ 3x^2-5x+12=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·3·2=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{6}; x=\frac{5\pm 1}{6} \\ {x}_1=1; x_2=\frac{2}{3} \\ 3x^2-5x+2=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-1\right)=\left(3x-2\right)\left(x-1\right) \\ \frac{2+x-x^2}{2-5x+3x^2}+\frac{10x}{3x-2}=\frac{-\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}+ \\ +\frac{10x}{3x-2}=\frac{-x^2+x+2+10x\left(x-1\right)}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{-x^2+x+2+10x^2-10x}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}=\frac{9x^2-9x+2}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{3·3\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}=\frac{\left(3x-2\right)\left(3x-1\right)}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}=\frac{3x-1}{x-1} \\ 9x^2-9x+2=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·9·2=81-72=9 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{9}}{18}; x=\frac{9\pm 3}{18} \\ {x}_1=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}; x_2=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$\frac{x+4}{x-1} - \frac{37x-12}{4x^2-3x-1}$

Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби $4x^2-3x-1$. Для этого решим квадратное уравнение $4x^2-3x-1=0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3+\sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3+5}{8} = 1$; $x_2 = \frac{3-\sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3-5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

Таким образом, $4x^2-3x-1 = 4(x-1)(x+\frac{1}{4}) = (x-1)(4x+1)$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$\frac{x+4}{x-1} - \frac{37x-12}{(x-1)(4x+1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(4x+1)$:

$\frac{(x+4)(4x+1)}{(x-1)(4x+1)} - \frac{37x-12}{(x-1)(4x+1)} = \frac{(x+4)(4x+1) - (37x-12)}{(x-1)(4x+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$(x+4)(4x+1) - (37x-12) = (4x^2+x+16x+4) - 37x+12 = 4x^2+17x+4-37x+12 = 4x^2-20x+16$

Разложим числитель на множители: $4x^2-20x+16 = 4(x^2-5x+4) = 4(x-1)(x-4)$.

Подставим полученное выражение в дробь и сократим:

$\frac{4(x-1)(x-4)}{(x-1)(4x+1)} = \frac{4(x-4)}{4x+1}$

Ответ: $\frac{4(x-4)}{4x+1}$

$\frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{x^2+3x+2}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби $x^2+3x+2$. По теореме Виета, корни уравнения $x^2+3x+2=0$ равны $-1$ и $-2$.

Следовательно, $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.

Заметим, что в числителе второй дроби $1-x = -(x-1)$. Перепишем выражение:

$\frac{x-1}{x+2} - \frac{-(x-1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x-1}{x+2} + \frac{x-1}{(x+1)(x+2)}$

Общий знаменатель: $(x+1)(x+2)$.

$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)} + \frac{x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x-1)(x+1) + (x-1)}{(x+1)(x+2)}$

В числителе вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$\frac{(x-1)((x+1)+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}$

Сократим дробь на $(x+2)$:

$\frac{x-1}{x+1}$

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$

$\frac{7x-x^2}{x+4} \cdot \frac{x^2-x-20}{7-x}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

$7x-x^2 = x(7-x)$

Для $x^2-x-20$ решим уравнение $x^2-x-20=0$. Корни: $x_1=5$, $x_2=-4$. Значит, $x^2-x-20 = (x-5)(x+4)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{x(7-x)}{x+4} \cdot \frac{(x-5)(x+4)}{7-x}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $(x+4)$ и $(7-x)$:

$\frac{x(7-x)(x-5)(x+4)}{(x+4)(7-x)} = x(x-5)$

Ответ: $x(x-5)$

$\frac{x^2+11x+30}{3x-15} : \frac{x+5}{x-5}$

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{x^2+11x+30}{3x-15} \cdot \frac{x-5}{x+5}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

Для $x^2+11x+30$, по теореме Виета, корни уравнения $x^2+11x+30=0$ это $-5$ и $-6$. Значит, $x^2+11x+30 = (x+5)(x+6)$.

$3x-15 = 3(x-5)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(x+5)(x+6)}{3(x-5)} \cdot \frac{x-5}{x+5}$

Сократим общие множители $(x+5)$ и $(x-5)$:

$\frac{(x+5)(x+6)(x-5)}{3(x-5)(x+5)} = \frac{x+6}{3}$

Ответ: $\frac{x+6}{3}$

$\frac{2x^2-7}{x^2-3x-4} - \frac{x+1}{x-4}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби $x^2-3x-4$. Корни уравнения $x^2-3x-4=0$ это $4$ и $-1$.

Следовательно, $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)$.

Перепишем выражение:

$\frac{2x^2-7}{(x-4)(x+1)} - \frac{x+1}{x-4}$

Приведем к общему знаменателю $(x-4)(x+1)$:

$\frac{2x^2-7}{(x-4)(x+1)} - \frac{(x+1)(x+1)}{(x-4)(x+1)} = \frac{2x^2-7-(x+1)^2}{(x-4)(x+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$2x^2-7-(x^2+2x+1) = 2x^2-7-x^2-2x-1 = x^2-2x-8$

Разложим числитель $x^2-2x-8$ на множители. Корни уравнения $x^2-2x-8=0$ это $4$ и $-2$.

Значит, $x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+1)} = \frac{x+2}{x+1}$

Ответ: $\frac{x+2}{x+1}$

$\frac{2+x-x^2}{2-5x+3x^2} + \frac{10x}{3x-2}$

Для удобства перепишем многочлены в стандартном виде:

$\frac{-x^2+x+2}{3x^2-5x+2} + \frac{10x}{3x-2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

$-x^2+x+2 = -(x^2-x-2) = -(x-2)(x+1)$.

Для $3x^2-5x+2$ решим уравнение $3x^2-5x+2=0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25-24=1$. Корни: $x_1=\frac{5+1}{6}=1$, $x_2=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$.

Значит, $3x^2-5x+2 = 3(x-1)(x-\frac{2}{3}) = (x-1)(3x-2)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{-(x-2)(x+1)}{(x-1)(3x-2)} + \frac{10x}{3x-2}$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(3x-2)$:

$\frac{-(x-2)(x+1)}{(x-1)(3x-2)} + \frac{10x(x-1)}{(x-1)(3x-2)} = \frac{-(x^2-x-2)+10x(x-1)}{(x-1)(3x-2)}$

Упростим числитель:

$-x^2+x+2+10x^2-10x = 9x^2-9x+2$

Разложим числитель $9x^2-9x+2$ на множители. Решим $9x^2-9x+2=0$. $D=(-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81-72=9$. Корни: $x_1=\frac{9+3}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$, $x_2=\frac{9-3}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$.

Значит, $9x^2-9x+2 = 9(x-\frac{2}{3})(x-\frac{1}{3}) = (3x-2)(3x-1)$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(3x-2)(3x-1)}{(x-1)(3x-2)} = \frac{3x-1}{x-1}$

Ответ: $\frac{3x-1}{x-1}$

798. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x+1}{6}+\frac{20}{x-1}=4 /·6\left(x-1\right) \\ \left(x+1\right)\left(x-1\right)+20·6=24\left(x-1\right) \\ {x}^2-1+120=24x-24 \\ {x}^2-24x+24-1+120=0 \\ {x}^2-24x+143=0 \\ D={\left(-24\right)}^2-4·1·143=576-572=4 \\ x=\frac{24\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{24\pm 2}{2} \\ {x}_1=13; x_2=11 \end{gathered}$$

Если x=13, то x-1=13-1=12≠0,

если x=11, то x-1=11-1=10≠0

Ответ: 11; 13

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{x+15}{4}-\frac{21}{x+2}=2 /·4\left(x+2\right) \\ \left(x+15\right)\left(x+2\right)-21·4=8\left(x+2\right) \\ {x}^2+2x+15x+30-84=8x+16 \\ {x}^2+17x-54-8x-16=0 \\ {x}^2+9x-70=0 \\ D=9^2-4·1·\left(-70\right)=81+280=361 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{361}}{2}; x=\frac{-9\pm 19}{2} \\ {x}_1=5; x_2=-14 \end{gathered}$$

Если x=5, то x+2=5+2=7≠0,

если x=-14, то x+2=-14+2=-12≠0

Ответ: -14; 5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1}=1 /·\left(x-1\right)\left(x+1\right) \\ 12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right) \\ 12x+12-8x+8=x^2-1 \\ 4x+20=x^2-1 \\ {x}^2-4x-20-1=0 \\ {x}^2-4x-21=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-21\right)=16+84=100 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{100}}{2}; x=\frac{4\pm 10}{2} \\ {x}_1=7; x_2=-3 \end{gathered}$$

Если x = 7, то $x^2-1=7^2-1=49-1=48\ne 0,$

если x=-14, то $x^2-1=(-3)-1=9-1=8\ne 0$

Ответ: -3; 7

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3 /·\left(x-3\right)\left(1-x\right) \\ 16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)=3\left(x-3\right)\left(1-x\right) \\ 16-16x+30x-90=3\left(x-x^2-3+3x\right) \\ 16+14x-90=3\left(4x-x^2-3\right) \\ 14x-74=12x-3x^2-9 \\ 3x^2+14x-74-12x+9=0 \\ 3x^2+2x-65=0 \\ D=2^2-4·3·\left(-65\right)=4+780=784 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{784}}{6}; x=\frac{-2\pm 28}{6} \\ {x}_1=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}=4\frac{1}{3} \\ {x}_2=-5 \end{gathered}$$

Если $x=4\frac{1}{3}x\; =\; 4\backslash frac\{1\}\{3\}$, то $\left(x-3\right)\left(1-x\right)=\left(4\frac{1}{3}-3\right)\left(1-4\frac{1}{3}\right)\ne 0,$

если $x=-5x\; =\; -5$, то $\left(x-3\right)\left(1-x\right)=\left(-5-3\right)\left(1+5\right)\ne 0$

Ответ: -5; $4\frac{1}{3}4\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{3}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{28}{1-x^2} /·\left(1-x\right)\left(1+x\right) \\ 3\left(1+x\right)+\left(1-x\right)=28 \\ 3+3x+1-x=28 \\ 2x+4=28 \\ 2x=24 \\ x=12 \end{gathered}$$

если $x=12x\; =\; 12$, то $\left(1-12\right)\left(1+12\right)\mathrm{\ne }0(1-12)(1+12)\; \backslash neq\; 0$

Ответ: 12

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2}=\frac{20}{x^2-4} /·\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ 5\left(x+2\right)-3\left(x-2\right)=20 \\ 5x+10-3x+6=20 \\ 2x=20-10-6 \\ 2x=4 \\ x=2 \end{gathered}$$

Если $x=2x\; =\; 2$, то $\left(2-2\right)\left(2+2\right)=0(2-2)(2+2)\; =\; 0$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{x+2}{x+1}+\frac{x+3}{x-2}=\frac{29}{(x+1)(x-2)} /·\left(x+1\right)\left(x-2\right) \\ \left(x+2\right)\left(x-2\right)+\left(x+3\right)\left(x+1\right)=29 \\ {x}^2-4+x^2+x+3x+3-29=0 \\ 2x^2+4x-30=0 /:2 \\ {x}^2+2x-15=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-15\right)=4+60=64 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{64}}{2}; x=\frac{-2\pm 8}{2} \\ {x}_1=3; x_2=-5 \end{gathered}$$

Если $x=3x\; =\; 3$, то $\left(x+1\right)\left(x-2\right)=\left(3+1\right)\left(3-2\right)\ne 0,$

если $x=-5x\; =\; -5$, то $\left(x+1\right)\left(x-2\right)=\left(-5+1\right)\left(-5-2\right)\mathrm{\ne }0(x+1)(x-2)\; =\; (-5+1)(-5-2)\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -5; 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\frac{x+2}{x+3}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{4}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)} /·\left(x+3\right)\left(x-1\right) \\ \left(x+2\right)\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(x+3\right)=4 \\ {x}^2-x+2x-2-\left(x^2+3x+x+3\right)=4 \\ {x}^2+x-2-x^2-4x-3-4=0 \\ -3x-9=4 \\ -3x=9 \\ x=-3 \end{gathered}$$

Если $x=-3x\; =\; -3$, то $\left(x+3\right)\left(x-1\right)=\left(-3+3\right)\left(-3-1\right)=0$

Ответ: нет корней

а) $\frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель $x-1$ не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $6(x-1)$, чтобы избавиться от дробей:

$(x+1)(x-1) + 20 \cdot 6 = 4 \cdot 6(x-1)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 1 + 120 = 24(x-1)$

$x^2 + 119 = 24x - 24$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 24x + 119 + 24 = 0$

$x^2 - 24x + 143 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета ($x_1+x_2 = 24$, $x_1 \cdot x_2 = 143$) или формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 143 = 576 - 572 = 4$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{24 + \sqrt{4}}{2} = \frac{24 + 2}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$x_2 = \frac{24 - \sqrt{4}}{2} = \frac{24 - 2}{2} = \frac{22}{2} = 11$

Оба корня, 11 и 13, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: 11; 13.

б) $\frac{x+15}{4} - \frac{21}{x+2} = 2$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$.

Общий знаменатель $4(x+2)$. Умножим на него обе части уравнения:

$(x+15)(x+2) - 21 \cdot 4 = 2 \cdot 4(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 2x + 15x + 30 - 84 = 8(x+2)$

$x^2 + 17x - 54 = 8x + 16$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 + 17x - 8x - 54 - 16 = 0$

$x^2 + 9x - 70 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -9$, $x_1 \cdot x_2 = -70$. Корни 5 и -14.

Проверим через дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361 = 19^2$

$x_1 = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-9 - 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$).

Ответ: -14; 5.

в) $\frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 1$

ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель $(x-1)(x+1)$. Умножим на него обе части уравнения:

$12(x+1) - 8(x-1) = 1 \cdot (x-1)(x+1)$

Раскроем скобки:

$12x + 12 - 8x + 8 = x^2 - 1$

$4x + 20 = x^2 - 1$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - 21 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -21$. Корни 7 и -3.

Проверим через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$

$x_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1, x \neq -1$).

Ответ: -3; 7.

г) $\frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3$

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $1-x \neq 0$, следовательно $x \neq 3$ и $x \neq 1$.

Общий знаменатель $(x-3)(1-x)$. Умножим на него обе части уравнения:

$16(1-x) + 30(x-3) = 3(x-3)(1-x)$

Раскроем скобки:

$16 - 16x + 30x - 90 = 3(x - x^2 - 3 + 3x)$

$14x - 74 = 3(-x^2 + 4x - 3)$

$14x - 74 = -3x^2 + 12x - 9$

Приведем к стандартному виду:

$3x^2 + 14x - 12x - 74 + 9 = 0$

$3x^2 + 2x - 65 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-65) = 4 + 780 = 784 = 28^2$

$x_1 = \frac{-2 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$

$x_2 = \frac{-2 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3, x \neq 1$).

Ответ: -5; $\frac{13}{3}$.

д) $\frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{28}{1-x^2}$

ОДЗ: $1-x \neq 0$ и $1+x \neq 0$, следовательно $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Заметим, что $1-x^2 = (1-x)(1+x)$. Это общий знаменатель. Умножим на него обе части:

$3(1+x) + 1(1-x) = 28$

Раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$3 + 3x + 1 - x = 28$

$2x + 4 = 28$

$2x = 24$

$x = 12$

Корень $x=12$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 12.

е) $\frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Умножим на него обе части:

$5(x+2) - 3(x-2) = 20$

Раскроем скобки и решим:

$5x + 10 - 3x + 6 = 20$

$2x + 16 = 20$

$2x = 4$

$x = 2$

Полученный корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$). Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

ж) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-2} = \frac{29}{(x+1)(x-2)}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$ и $x \neq 2$.

Общий знаменатель $(x+1)(x-2)$. Умножим на него обе части:

$(x+2)(x-2) + (x+3)(x+1) = 29$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 4) + (x^2 + x + 3x + 3) = 29$

$x^2 - 4 + x^2 + 4x + 3 = 29$

$2x^2 + 4x - 1 = 29$

$2x^2 + 4x - 30 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни 3 и -5.

$x_1 = 3$, $x_2 = -5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -5; 3.

з) $\frac{x+2}{x+3} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)}$

ОДЗ: $x+3 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно $x \neq -3$ и $x \neq 1$.

Общий знаменатель $(x+3)(x-1)$. Умножим на него обе части:

$(x+2)(x-1) - (x+1)(x+3) = 4$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй скобкой:

$(x^2 - x + 2x - 2) - (x^2 + 3x + x + 3) = 4$

$(x^2 + x - 2) - (x^2 + 4x + 3) = 4$

$x^2 + x - 2 - x^2 - 4x - 3 = 4$

$-3x - 5 = 4$

$-3x = 9$

$x = -3$

Полученный корень $x=-3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$). Это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

799. Найдите координаты точек пересечения с осью х графика функции, заданной формулой:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{2x-5}{x+3}, y=0 \\ \frac{2x-5}{x+3}=0 /·(x+3) \\ 2x-5=0 \\ 2x=5 \\ x=2,5 \end{gathered}$$

Если $x=2,5x=2,5$, то $x+3=2,5+3=5,5\mathrm{\ne }0x+3=2,5+3=5,5\backslash neq0$

Ответ: (2,5; 0)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{\left(x-4\right)\left(3x-15\right)}{x-9}, y=0 \\ \frac{(x-4)(3x-15)}{x-9}=0 /·(x-9) \\ (x-4)(3x-15)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-4=0& \text{или}& 3x-15=0\\ x=4& & 3x=15\\ & & x=5\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=4x=4$, то $x-9=4-9\mathrm{\ne }0x-9=4-9\backslash neq0$,

если $x=5x=5$, то $x-9=5-9\mathrm{\ne }0x-9=5-9\backslash neq0$

Ответ: (4;0), (5;0)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{x^2-5x+6}{x-2}, y=0 \\ \frac{x^2-5x+6}{x-2}=0 /·(x-2) \\ {x}^2-5x+6=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·6=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}; x=\frac{5\pm 1}{2} \\ x=3; x=2 \end{gathered}$$

Если $x=3x=3$, то $x-2=3-2\mathrm{\ne }0x-2=3-2\backslash neq0$,

если $x=2x=2$, то $x-2=2-2=0x-2=2-2=0$

Ответ: (3;0)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\frac{x^3-7x^2+12x}{x-3}, y=0 \\ \frac{x^3-7x^2+12x}{x-3}=0 /·(x-3) \\ {x}^3-7x^2+12x=0 \\ x\left(x^2-7x+12\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x^2-7x+12=0\\ & & D={\left(-7\right)}^2-4·1·12=49-48=1 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2}, x=\frac{7\pm 1}{2} \\ {x}_1=4; x_2=3\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x=0$, то $x-3=0-3\mathrm{\ne }0x-3=0-3\backslash neq0$,

если $x=4x=4$, то $x-3=4-3\mathrm{\ne }0x-3=4-3\backslash neq0$,

если $x=3x=3$, то $x-3=3-3=0x-3=3-3=0$

Ответ: (0;0), (4;0)

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью x, необходимо приравнять значение функции (y) к нулю. Точки пересечения с осью x имеют координату y, равную 0. График функции $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ пересекает ось x в тех точках, где числитель $P(x)$ равен нулю, а знаменатель $Q(x)$ не равен нулю.

а) $y = \frac{2x-5}{x+3}$

Приравниваем функцию к нулю: $\frac{2x-5}{x+3} = 0$.

1. Находим нули числителя:
$2x - 5 = 0$
$2x = 5$
$x = 2.5$

2. Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю при этом значении x (область допустимых значений):
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.
Так как $2.5 \neq -3$, то $x = 2.5$ является корнем уравнения.

Координаты точки пересечения: $(2.5; 0)$.
Ответ: $(2.5; 0)$.

б) $y = \frac{(x-4)(3x-15)}{x-9}$

Приравниваем функцию к нулю: $\frac{(x-4)(3x-15)}{x-9} = 0$.

1. Находим нули числителя:
$(x-4)(3x-15) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$
или
$3x - 15 = 0 \implies 3x = 15 \implies x_2 = 5$.

2. Проверяем область допустимых значений:
$x - 9 \neq 0 \implies x \neq 9$.
Оба корня ($4$ и $5$) не равны $9$, поэтому оба являются точками пересечения.

Координаты точек пересечения: $(4; 0)$ и $(5; 0)$.
Ответ: $(4; 0)$, $(5; 0)$.

в) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$

Приравниваем функцию к нулю: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 0$.

1. Находим нули числителя:
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

2. Проверяем область допустимых значений:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Корень $x_1 = 2$ не входит в область допустимых значений, поэтому он не является точкой пересечения графика с осью. В этой точке на графике будет разрыв ("выколотая" точка).
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $x \neq 2$.

Следовательно, существует только одна точка пересечения с координатами $(3; 0)$.
Ответ: $(3; 0)$.

г) $y = \frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3}$

Приравниваем функцию к нулю: $\frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3} = 0$.

1. Находим нули числителя:
$x^3 - 7x^2 + 12x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 7x + 12) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ или $x^2 - 7x + 12 = 0$.
Решаем квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, произведение равно $12$. Корни: $x_2 = 3$ и $x_3 = 4$.
Таким образом, нули числителя: $0, 3, 4$.

2. Проверяем область допустимых значений:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.
Корень $x_2 = 3$ не входит в область допустимых значений.
Корень $x_3 = 4$ удовлетворяет условию.

Координаты точек пересечения: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.
Ответ: $(0; 0)$, $(4; 0)$.