Номер 794, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 794, страница 179.

794. Зная, что коэффициенты квадратного трёхчлена (n – 3)x² + (n + 1)x + 9 – 2n — натуральные числа, найдите этот трёхчлен.

$$\begin{gathered} \left(n-3\right)x^2+\left(n+1\right)x+9-2n \\ \left\{\begin{array}{l}n-3\ge 1\\ n+1\ge 1\\ 9-2n\ge 1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n\ge 4\\ n\ge 0\\ 1+2n\le 9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n\ge 4\\ n\ge 0\\ 2n\le 8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n\ge 4\\ n\ge 0\\ n\le 4\end{array}\right. \\ n=4 \\ \left(4-3\right)x^2+\left(4+1\right)x+9-2·4=x^2+5x+1 \end{gathered}$$

Ответ: $x^2+5x+1x^2+5x+1$

Дан квадратный трёхчлен $(n - 3)x^2 + (n + 1)x + 9 - 2n$. Коэффициентами этого трёхчлена являются выражения:

• $a = n - 3$ (коэффициент при $x^2$)
• $b = n + 1$ (коэффициент при $x$)
• $c = 9 - 2n$ (свободный член)

По условию, все три коэффициента — натуральные числа. Натуральные числа — это целые положительные числа $\{1, 2, 3, ...\}$. Это означает, что каждый из коэффициентов должен быть больше или равен 1. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} n - 3 \ge 1 \\ n + 1 \ge 1 \\ 9 - 2n \ge 1 \end{cases} $

Решим эту систему относительно $n$:

1. Из первого неравенства $n - 3 \ge 1$ получаем $n \ge 1 + 3$, то есть $n \ge 4$.

2. Из второго неравенства $n + 1 \ge 1$ получаем $n \ge 1 - 1$, то есть $n \ge 0$. Это условие слабее, чем $n \ge 4$, поэтому оно не сужает множество решений.

3. Из третьего неравенства $9 - 2n \ge 1$ получаем $9 - 1 \ge 2n$, то есть $8 \ge 2n$, откуда $4 \ge n$ или $n \le 4$.

Мы получили два условия для $n$: $n \ge 4$ и $n \le 4$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим этим условиям одновременно, это $n = 4$.

Подставим найденное значение $n = 4$ в выражения для коэффициентов, чтобы убедиться, что они являются натуральными числами:

• $a = 4 - 3 = 1$
• $b = 4 + 1 = 5$
• $c = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1$

Все коэффициенты $1, 5, 1$ являются натуральными числами, что соответствует условию задачи.

Теперь найдём сам трёхчлен, подставив $n = 4$ в его исходное выражение:
$(4 - 3)x^2 + (4 + 1)x + (9 - 2 \cdot 4) = 1 \cdot x^2 + 5x + 1 = x^2 + 5x + 1$.

Ответ: $x^2 + 5x + 1$.