Номер 787, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 787, страница 178.

787. Найдите трёхчлен вида x² + px + q, корнями которого являются не равные нулю числа p и q.

$$\begin{gathered} x^2+px+q=0 \\ {x}_1=p, x_2=q, p\ne 0, q\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-p\\ x_1·x_2=q\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}p+q=-p\\ p·q=q\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2p=-q\\ q\left(p-1\right)=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}p=1\\ 2=-q\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}p=1\\ q=-2\end{array}\right. \\ {x}^2+x-2 \end{gathered}$$

Пусть искомый трёхчлен имеет вид $x^2 + px + q$. По условию задачи, его корнями являются числа $p$ и $q$, причём $p \neq 0$ и $q \neq 0$.

Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета, сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($x_1+x_2 = -B$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = C$).

В нашем случае уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$, его корни $x_1 = p$ и $x_2 = q$. Применяя теорему Виета, составим систему уравнений: $ \begin{cases} p + q = -p \\ p \cdot q = q \end{cases} $

Решим эту систему. Рассмотрим второе уравнение: $p \cdot q = q$. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $q$ за скобки:
$p \cdot q - q = 0$
$q(p - 1) = 0$

Это равенство верно, если $q=0$ или $p-1=0$. По условию задачи $q$ не равно нулю ($q \neq 0$), следовательно, единственно возможным решением является $p-1=0$, откуда получаем $p=1$.

Теперь подставим найденное значение $p=1$ в первое уравнение системы $p + q = -p$:
$1 + q = -1$
$q = -1 - 1 = -2$

Таким образом, мы нашли коэффициенты: $p=1$ и $q=-2$. Они удовлетворяют условию, так как не равны нулю. Подставляем найденные значения в искомый трёхчлен $x^2 + px + q$:
$x^2 + (1)x + (-2) = x^2 + x - 2$

Ответ: $x^2 + x - 2$