Номер 791, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 791, страница 178.

791. Найдите наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена:

а) 3x² – 4x + 5;

б) –3x² + 12x.

а) $3x^2-4x+5=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\right)=$

$$\begin{gathered} =3\left(x^2-2·\frac{2}{3}x+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{5}{3}\right)= \\ =3\left({\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{4}{9}+\frac{15}{9}\right)=3\left({\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{11}{9}\right)= \\ =3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{11}{3}=3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+3\frac{2}{3} \end{gathered}$$

при $x=\frac{2}{3}x=\backslash frac\{2\}\{3\}$ наименьшее значение равно $3\frac{2}{3}3\backslash frac\{2\}\{3\}$

Ответ: $3\frac{2}{3}3\backslash frac\{2\}\{3\}$

б) $-3x^2+12x=-3\left(x^2-4x\right)=$

$$\begin{gathered} =-3\left(x^2-2·2x+2^2-2^2\right)=-3\left({\left(x-2\right)}^2-4\right)= \\ =-3{\left(x-2\right)}^2+12 \end{gathered}$$

при x=2 наибольшее значение равно 12

Ответ: 12

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трехчлена вида $y = ax^2 + bx + c$, нужно определить, куда направлены ветви параболы, и найти координаты ее вершины $(x_0, y_0)$.

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. В этом случае функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае функция имеет наибольшее значение, которое также достигается в вершине параболы.

Координата $x_0$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Наибольшее или наименьшее значение трехчлена равно координате $y_0$, которую можно найти, подставив $x_0$ в исходное выражение: $y_0 = a(x_0)^2 + b(x_0) + c$.

а) $3x^2 - 4x + 5$

Для данного трехчлена коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -4$, $c = 5$.

Поскольку $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх, значит, трехчлен имеет наименьшее значение.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем наименьшее значение, подставив $x_0 = \frac{2}{3}$ в трехчлен:

$y_{min} = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{15}{3} = \frac{4 - 8 + 15}{3} = \frac{11}{3}$.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{11}{3}$.

б) $-3x^2 + 12x$

Для данного трехчлена коэффициенты равны: $a = -3$, $b = 12$, $c = 0$.

Поскольку $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз, значит, трехчлен имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$.

Теперь найдем наибольшее значение, подставив $x_0 = 2$ в трехчлен:

$y_{max} = -3(2)^2 + 12(2) = -3 \cdot 4 + 24 = -12 + 24 = 12$.

Ответ: наибольшее значение равно 12.