Номер 795, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 795, страница 179.

795. Зная, что m — целое число, найдите целые корни трёхчлена mx² + (m – 3)x – 3.

$$\begin{gathered} m{x}^2+(m-3)x-3=0 \\ D={\left(m-3\right)}^2-4m·\left(-3\right)=m^2-6m+9+12m= \\ =m^2+6m+9={\left(m+3\right)}^2 \\ x=\frac{-\left(m-3\right)\pm \sqrt{{\left(m+3\right)}^2}}{2m} \\ {x}_1=\frac{-m+3+m+3}{2m}=\frac{6}{2m}=\frac{3}{m} \\ {x}_2=\frac{-m+3-m-3}{2m}=\frac{-2m}{2m}=-1 \end{gathered}$$

Если m=-1, то x₁=-3; x₂=-1,

если m=-3; то x₁=-1; x₂=-1,

если m=1, то x₁=3; x₂=-1,

если m=3, то x₁=1; x₂=-1

Ответ: -3 и -1; -1 и -1; 3 и -1; 1 и -1

Для того чтобы найти целые корни трёхчлена $mx^2 + (m - 3)x - 3$, приравняем его к нулю, где $x$ — искомый целый корень, а $m$ — целое число по условию.

$mx^2 + (m - 3)x - 3 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, чтобы разложить её на множители. Для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$mx^2 + mx - 3x - 3 = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$mx(x + 1) - 3(x + 1) = 0$

Теперь можно вынести за скобку общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(mx - 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это даёт нам два возможных случая для нахождения корней.

Случай 1: $x + 1 = 0$

Из этого уравнения находим корень $x = -1$. Поскольку $-1$ является целым числом, это один из искомых корней. Этот корень существует при любом целом значении параметра $m$, так как при подстановке $x = -1$ в исходное выражение оно обращается в ноль независимо от $m$: $m(-1)^2 + (m-3)(-1) - 3 = m - m + 3 - 3 = 0$.

Случай 2: $mx - 3 = 0$

Из этого уравнения получаем $mx = 3$. Так как по условию $m$ — целое число, а мы ищем целые корни $x$, то $x$ должен быть целым делителем числа 3.

Целыми делителями числа 3 являются числа $1, -1, 3, -3$. Проверим, для каждого ли из этих делителей существует соответствующее целое значение $m$:

• Если $x = 1$, то $m \cdot 1 = 3$, откуда $m = 3$. Это целое число.
• Если $x = -1$, то $m \cdot (-1) = 3$, откуда $m = -3$. Это целое число.
• Если $x = 3$, то $m \cdot 3 = 3$, откуда $m = 1$. Это целое число.
• Если $x = -3$, то $m \cdot (-3) = 3$, откуда $m = -1$. Это целое число.

Таким образом, все перечисленные значения $x$ могут быть корнями данного трёхчлена при некоторых целых значениях $m$.

Собирая все найденные возможные целые корни из обоих случаев, получаем множество: $\{-3, -1, 1, 3\}$.

Ответ: $-3, -1, 1, 3$.