Номер 802, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 802, страница 180.

802. Решите графически уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{6}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=1,5x-2 \\ y=\frac{6}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }} \end{gathered}$$

Если $x>0x>0$, то $y=\frac{6}{x}y=\backslash frac\{6\}\{x\}$,

если , то $y=-\frac{6}{x}$

x	1	2	3	4	6	-1	-2	-3	-4	-6
y	6	3	2	1,5	1	6	3	2	1,5	1

$y=1,5x-2$

x	0	2
y	-2	1

x≈2,8

Ответ: ≈2,8

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{8}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=x^2 \\ y=x^2 \end{gathered}$$

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

$y=\frac{8}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}y=\backslash frac\{8\}\{|x|\}$

Если x>0, тo $y=\frac{8}{x}y=\backslash frac\{8\}\{x\}$,

если x<0, тo $y=-\frac{8}{x}y=-\backslash frac\{8\}\{x\}$

x	1	2	4	8	-1	-2	-4	-8
y	8	4	2	1	8	4	2	1

x₁=2; x₂=-2

Ответ: -2; 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{3}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=x+1 \\ y=\frac{3}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }} \end{gathered}$$

Если x>0, тo $y=\frac{3}{x}y=\backslash frac\{3\}\{x\}$,

если x<0, тo $y=-\frac{3}{x}y=-\backslash frac\{3\}\{x\}$

x	0,5	1	2	3	6	-0,5	-1	-2	-3	-6
y	6	3	1,5	1	0,5	6	3	1,5	1	0,5

y=x+1

x	0	-1
y	1	0

x≈1,3

Ответ: ≈1,3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2=\frac{5}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }} \\ y=x^2 \end{gathered}$$

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

Если x>0, тo $y=\frac{5}{x}y=\backslash frac\{5\}\{x\}$,

если x<0, тo $y=-\frac{5}{x}y=-\backslash frac\{5\}\{x\}$

x	1	2	5	-1	-2	-5
y	5	2,5	1	5	2,5	1

x₁≈1,7; x₂≈-1,7

Ответ: ≈1,7; ≈-1,7

а)

Чтобы решить уравнение $\frac{6}{|x|} = 1,5x - 2$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \frac{6}{|x|}$ и $y_2 = 1,5x - 2$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y_1 = \frac{6}{|x|}$.
Эта функция четная, так как $y_1(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y_1(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
При $x > 0$, функция принимает вид $y_1 = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы в первой координатной четверти. Найдем несколько точек для ее построения: (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1).
Вторую ветвь (при $x < 0$) получаем, отразив первую симметрично относительно оси OY. Она будет проходить через точки (-1; 6), (-2; 3), (-3; 2), (-6; 1).

2. Построим график функции $y_2 = 1,5x - 2$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

• При $x = 0$, $y_2 = 1,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0; -2).
• При $x = 2$, $y_2 = 1,5 \cdot 2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка (2; 1).

3. Анализ графиков.
Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются только в одной точке, расположенной в первой четверти (где $x > 0$). При $x < 0$ график $y_1$ находится выше оси абсцисс, а график $y_2$ — ниже, поэтому пересечений нет.
Для нахождения точной абсциссы точки пересечения решим уравнение для $x > 0$: $\frac{6}{x} = 1,5x - 2$
$6 = x(1,5x - 2)$
$1,5x^2 - 2x - 6 = 0$
Умножим обе части на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:
$3x^2 - 4x - 12 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 16 + 144 = 160$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 4\sqrt{10}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{3}$.
Поскольку мы ищем решение при $x > 0$, выбираем корень со знаком «плюс».

Ответ: $x = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{3}$.

б)

Решим уравнение $\frac{8}{|x|} = x^2$ графически. Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \frac{8}{|x|}$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \frac{8}{|x|}$ симметричен относительно оси OY. При $x > 0$ имеем $y_1 = \frac{8}{x}$ (гипербола). Контрольные точки для $x > 0$: (1; 8), (2; 4), (4; 2). Для $x < 0$: (-1; 8), (-2; 4), (-4; 2).

2. График функции $y_2 = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Контрольные точки: (0; 0), (1; 1), (2; 4), (-1; 1), (-2; 4).

3. Анализ графиков.
Обе функции четные, поэтому их графики симметричны относительно оси OY. Если есть точка пересечения с абсциссой $x_0$, то будет и точка пересечения с абсциссой $-x_0$.
Найдем пересечение для $x > 0$. Уравнение принимает вид $\frac{8}{x} = x^2$.
Отсюда $x^3 = 8$, что дает $x = \sqrt[3]{8} = 2$.
Значение $y$ в этой точке: $y = 2^2 = 4$. Точка пересечения (2; 4).
В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -2$. Проверим: $y = (-2)^2 = 4$. Точка (-2; 4).
Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

в)

Решим уравнение $\frac{3}{|x|} = x + 1$ графически. Построим графики функций $y_1 = \frac{3}{|x|}$ и $y_2 = x + 1$.

1. График функции $y_1 = \frac{3}{|x|}$ симметричен относительно оси OY. При $x > 0$ это гипербола $y_1 = \frac{3}{x}$. Точки: (1; 3), (3; 1), (0.5; 6). При $x < 0$ точки: (-1; 3), (-3; 1), (-0.5; 6).

2. График функции $y_2 = x + 1$ — прямая, проходящая через точки (0; 1) и (-1; 0).

3. Анализ графиков.
Построив графики, можно заметить, что пересечение происходит только в одной точке в первой четверти ($x > 0$).
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $x > 0$. Уравнение: $\frac{3}{x} = x + 1$.
$3 = x^2 + x \implies x^2 + x - 3 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$. Так как $x > 0$, то $x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$.
Случай 2: $x < 0$. Уравнение: $\frac{3}{-x} = x + 1$.
$3 = -x(x+1) \implies 3 = -x^2 - x \implies x^2 + x + 3 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет, что подтверждается графиком (во второй четверти пересечений нет).
Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{13}-1}{2}$.

г)

Решим уравнение $x^2 = \frac{5}{|x|}$ графически. Это эквивалентно уравнению $\frac{5}{|x|} = x^2$. Построим графики функций $y_1 = \frac{5}{|x|}$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \frac{5}{|x|}$ симметричен относительно оси OY. При $x > 0$ это гипербола $y_1 = \frac{5}{x}$. Точки для $x > 0$: (1; 5), (2; 2.5), (5; 1). Для $x < 0$: (-1; 5), (-2; 2.5), (-5; 1).

2. График функции $y_2 = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в (0; 0).

3. Анализ графиков.
Обе функции четные, графики симметричны относительно OY. Ищем решения для $x > 0$. Уравнение: $x^2 = \frac{5}{x}$.
$x^3 = 5 \implies x = \sqrt[3]{5}$.
Это абсцисса точки пересечения в первой четверти.
В силу симметрии, вторая точка пересечения будет иметь абсциссу $x = -\sqrt[3]{5}$.
Это можно проверить, решив уравнение для $x < 0$: $x^2 = \frac{5}{-x} \implies -x^3 = 5 \implies x^3 = -5 \implies x = \sqrt[3]{-5} = -\sqrt[3]{5}$.
Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = -\sqrt[3]{5}, x_2 = \sqrt[3]{5}$.