Номер 797, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 797, страница 179.

797. Выполните действие:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{x+4}{x-1}-\frac{37x-12}{4x^2-3x-1}=\frac{x+4}{x-1}- \\ -\frac{37x-12}{4\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)(x-1)}=\frac{x+4}{x-1}-\frac{37x-12}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{\left(x+4\right)\left(4x+1\right)-\left(37x-12\right)}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{4x^2+x+16x+4-37x+12}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{4x^2-20x+16}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{4\left(x^2-5x+4\right)}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{4\left(x-4\right)\left(x-1\right)}{\left(4x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{4x-16}{4x+1} \\ 4x^2-3x-1=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·4·\left(-1\right)=9+16=25 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{25}}{8}; x=\frac{3\pm 5}{8} \\ {x}_1=1; x_2=-\frac{1}{4} \\ {x}^2-5x+4=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{5\pm 3}{2} \\ {x}_1=4; x_2=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+3x+2=0 \\ D=3^2-4·1·2=9-8=1 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}; x=\frac{-3\pm 1}{2} \\ {x}_1=-1; x_2=-2 \\ \frac{x-1}{x+2}-\frac{1-x}{x^2+3x+2}=\frac{x-1}{x+2}-\frac{1-x}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}= \\ =\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)-\left(1-x\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2-1-1+x}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}= \\ =\frac{x^2+x-2}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x-1}{x+1} \\ {x}^2+x-2=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{-1\pm 3}{2} \\ {x}_1=1; x_2=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{x}^2-x-20=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-20\right)=1+80=81 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{81}}{2}; x=\frac{1\pm 9}{2} \\ {x}_1=5; x_2=-4 \\ \frac{7x-x^2}{x+4}·\frac{x^2-x-20}{7-x}=\frac{x\left(7-x\right)}{x+4}·\frac{\left(x-5\right)\left(x+4\right)}{7-x}= \\ =\frac{x\left(x-5\right)}{1}=x^2-5x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x^2+11x+30}{3x-15}:\frac{x+5}{x-5}=\frac{\left(x+5\right)\left(x+6\right)·\left(x-5\right)}{3\left(x-5\right)·\left(x+5\right)}= \\ =\frac{x+6}{3} \\ {x}^2+11x+30=0 \\ D=11^2-4·1·30=121-120=1 \\ x=\frac{-11\pm \sqrt{7}}{2}; x=\frac{-11\pm 1}{2} \\ {x}_1=-5; x_2=-6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}{x}^2-3x-4=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)=9+16=25 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{3\pm 5}{2} \\ {x}_1=4; x_2=-1 \\ \frac{2x^2-7}{x^2-3x-4}-\frac{x+1}{x-4}=\frac{2x^2-7}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}- \\ -\frac{{\left(x+1\right)}^2}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}=\frac{2x^2-7-\left(x^2+2x+1\right)}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}= \\ =\frac{2x^2-7-x^2-2x-1}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2-2x-8}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}= \\ =\frac{\left(x-4\right)\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}=\frac{x+2}{x+1} \\ {x}^2-2x-8=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)=4+32=36 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{2\pm 6}{2} \\ {x}_1=4; x_2=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}-x^2+x+2=0 \\ D=1^2-4·\left(-1\right)·2=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-2}; x=\frac{-1\pm 3}{-2} \\ {x}_1=-1; x_2=2 \\ -x^2+x+2=-\left(x+1\right)\left(x-2\right) \\ 3x^2-5x+12=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·3·2=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{6}; x=\frac{5\pm 1}{6} \\ {x}_1=1; x_2=\frac{2}{3} \\ 3x^2-5x+2=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-1\right)=\left(3x-2\right)\left(x-1\right) \\ \frac{2+x-x^2}{2-5x+3x^2}+\frac{10x}{3x-2}=\frac{-\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}+ \\ +\frac{10x}{3x-2}=\frac{-x^2+x+2+10x\left(x-1\right)}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{-x^2+x+2+10x^2-10x}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}=\frac{9x^2-9x+2}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}= \\ =\frac{3·3\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}=\frac{\left(3x-2\right)\left(3x-1\right)}{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}=\frac{3x-1}{x-1} \\ 9x^2-9x+2=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·9·2=81-72=9 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{9}}{18}; x=\frac{9\pm 3}{18} \\ {x}_1=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}; x_2=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

а)

$\frac{x+4}{x-1} - \frac{37x-12}{4x^2-3x-1}$

Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби $4x^2-3x-1$. Для этого решим квадратное уравнение $4x^2-3x-1=0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3+\sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3+5}{8} = 1$; $x_2 = \frac{3-\sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3-5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

Таким образом, $4x^2-3x-1 = 4(x-1)(x+\frac{1}{4}) = (x-1)(4x+1)$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$\frac{x+4}{x-1} - \frac{37x-12}{(x-1)(4x+1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(4x+1)$:

$\frac{(x+4)(4x+1)}{(x-1)(4x+1)} - \frac{37x-12}{(x-1)(4x+1)} = \frac{(x+4)(4x+1) - (37x-12)}{(x-1)(4x+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$(x+4)(4x+1) - (37x-12) = (4x^2+x+16x+4) - 37x+12 = 4x^2+17x+4-37x+12 = 4x^2-20x+16$

Разложим числитель на множители: $4x^2-20x+16 = 4(x^2-5x+4) = 4(x-1)(x-4)$.

Подставим полученное выражение в дробь и сократим:

$\frac{4(x-1)(x-4)}{(x-1)(4x+1)} = \frac{4(x-4)}{4x+1}$

Ответ: $\frac{4(x-4)}{4x+1}$

б)

$\frac{x-1}{x+2} - \frac{1-x}{x^2+3x+2}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби $x^2+3x+2$. По теореме Виета, корни уравнения $x^2+3x+2=0$ равны $-1$ и $-2$.

Следовательно, $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.

Заметим, что в числителе второй дроби $1-x = -(x-1)$. Перепишем выражение:

$\frac{x-1}{x+2} - \frac{-(x-1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x-1}{x+2} + \frac{x-1}{(x+1)(x+2)}$

Общий знаменатель: $(x+1)(x+2)$.

$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)} + \frac{x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x-1)(x+1) + (x-1)}{(x+1)(x+2)}$

В числителе вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$\frac{(x-1)((x+1)+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}$

Сократим дробь на $(x+2)$:

$\frac{x-1}{x+1}$

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$

в)

$\frac{7x-x^2}{x+4} \cdot \frac{x^2-x-20}{7-x}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

$7x-x^2 = x(7-x)$

Для $x^2-x-20$ решим уравнение $x^2-x-20=0$. Корни: $x_1=5$, $x_2=-4$. Значит, $x^2-x-20 = (x-5)(x+4)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{x(7-x)}{x+4} \cdot \frac{(x-5)(x+4)}{7-x}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $(x+4)$ и $(7-x)$:

$\frac{x(7-x)(x-5)(x+4)}{(x+4)(7-x)} = x(x-5)$

Ответ: $x(x-5)$

г)

$\frac{x^2+11x+30}{3x-15} : \frac{x+5}{x-5}$

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{x^2+11x+30}{3x-15} \cdot \frac{x-5}{x+5}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

Для $x^2+11x+30$, по теореме Виета, корни уравнения $x^2+11x+30=0$ это $-5$ и $-6$. Значит, $x^2+11x+30 = (x+5)(x+6)$.

$3x-15 = 3(x-5)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(x+5)(x+6)}{3(x-5)} \cdot \frac{x-5}{x+5}$

Сократим общие множители $(x+5)$ и $(x-5)$:

$\frac{(x+5)(x+6)(x-5)}{3(x-5)(x+5)} = \frac{x+6}{3}$

Ответ: $\frac{x+6}{3}$

д)

$\frac{2x^2-7}{x^2-3x-4} - \frac{x+1}{x-4}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби $x^2-3x-4$. Корни уравнения $x^2-3x-4=0$ это $4$ и $-1$.

Следовательно, $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)$.

Перепишем выражение:

$\frac{2x^2-7}{(x-4)(x+1)} - \frac{x+1}{x-4}$

Приведем к общему знаменателю $(x-4)(x+1)$:

$\frac{2x^2-7}{(x-4)(x+1)} - \frac{(x+1)(x+1)}{(x-4)(x+1)} = \frac{2x^2-7-(x+1)^2}{(x-4)(x+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$2x^2-7-(x^2+2x+1) = 2x^2-7-x^2-2x-1 = x^2-2x-8$

Разложим числитель $x^2-2x-8$ на множители. Корни уравнения $x^2-2x-8=0$ это $4$ и $-2$.

Значит, $x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+1)} = \frac{x+2}{x+1}$

Ответ: $\frac{x+2}{x+1}$

е)

$\frac{2+x-x^2}{2-5x+3x^2} + \frac{10x}{3x-2}$

Для удобства перепишем многочлены в стандартном виде:

$\frac{-x^2+x+2}{3x^2-5x+2} + \frac{10x}{3x-2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

$-x^2+x+2 = -(x^2-x-2) = -(x-2)(x+1)$.

Для $3x^2-5x+2$ решим уравнение $3x^2-5x+2=0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25-24=1$. Корни: $x_1=\frac{5+1}{6}=1$, $x_2=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$.

Значит, $3x^2-5x+2 = 3(x-1)(x-\frac{2}{3}) = (x-1)(3x-2)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{-(x-2)(x+1)}{(x-1)(3x-2)} + \frac{10x}{3x-2}$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(3x-2)$:

$\frac{-(x-2)(x+1)}{(x-1)(3x-2)} + \frac{10x(x-1)}{(x-1)(3x-2)} = \frac{-(x^2-x-2)+10x(x-1)}{(x-1)(3x-2)}$

Упростим числитель:

$-x^2+x+2+10x^2-10x = 9x^2-9x+2$

Разложим числитель $9x^2-9x+2$ на множители. Решим $9x^2-9x+2=0$. $D=(-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81-72=9$. Корни: $x_1=\frac{9+3}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$, $x_2=\frac{9-3}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$.

Значит, $9x^2-9x+2 = 9(x-\frac{2}{3})(x-\frac{1}{3}) = (3x-2)(3x-1)$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(3x-2)(3x-1)}{(x-1)(3x-2)} = \frac{3x-1}{x-1}$

Ответ: $\frac{3x-1}{x-1}$