Номер 799, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 799, страница 179.

799. Найдите координаты точек пересечения с осью х графика функции, заданной формулой:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{2x-5}{x+3}, y=0 \\ \frac{2x-5}{x+3}=0 /·(x+3) \\ 2x-5=0 \\ 2x=5 \\ x=2,5 \end{gathered}$$

Если $x=2,5x=2,5$, то $x+3=2,5+3=5,5\mathrm{\ne }0x+3=2,5+3=5,5\backslash neq0$

Ответ: (2,5; 0)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{\left(x-4\right)\left(3x-15\right)}{x-9}, y=0 \\ \frac{(x-4)(3x-15)}{x-9}=0 /·(x-9) \\ (x-4)(3x-15)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-4=0& \text{или}& 3x-15=0\\ x=4& & 3x=15\\ & & x=5\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=4x=4$, то $x-9=4-9\mathrm{\ne }0x-9=4-9\backslash neq0$,

если $x=5x=5$, то $x-9=5-9\mathrm{\ne }0x-9=5-9\backslash neq0$

Ответ: (4;0), (5;0)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{x^2-5x+6}{x-2}, y=0 \\ \frac{x^2-5x+6}{x-2}=0 /·(x-2) \\ {x}^2-5x+6=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·6=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}; x=\frac{5\pm 1}{2} \\ x=3; x=2 \end{gathered}$$

Если $x=3x=3$, то $x-2=3-2\mathrm{\ne }0x-2=3-2\backslash neq0$,

если $x=2x=2$, то $x-2=2-2=0x-2=2-2=0$

Ответ: (3;0)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\frac{x^3-7x^2+12x}{x-3}, y=0 \\ \frac{x^3-7x^2+12x}{x-3}=0 /·(x-3) \\ {x}^3-7x^2+12x=0 \\ x\left(x^2-7x+12\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x^2-7x+12=0\\ & & D={\left(-7\right)}^2-4·1·12=49-48=1 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2}, x=\frac{7\pm 1}{2} \\ {x}_1=4; x_2=3\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x=0$, то $x-3=0-3\mathrm{\ne }0x-3=0-3\backslash neq0$,

если $x=4x=4$, то $x-3=4-3\mathrm{\ne }0x-3=4-3\backslash neq0$,

если $x=3x=3$, то $x-3=3-3=0x-3=3-3=0$

Ответ: (0;0), (4;0)

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью x, необходимо приравнять значение функции (y) к нулю. Точки пересечения с осью x имеют координату y, равную 0. График функции $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ пересекает ось x в тех точках, где числитель $P(x)$ равен нулю, а знаменатель $Q(x)$ не равен нулю.

а) $y = \frac{2x-5}{x+3}$

Приравниваем функцию к нулю: $\frac{2x-5}{x+3} = 0$.

1. Находим нули числителя:
$2x - 5 = 0$
$2x = 5$
$x = 2.5$

2. Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю при этом значении x (область допустимых значений):
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.
Так как $2.5 \neq -3$, то $x = 2.5$ является корнем уравнения.

Координаты точки пересечения: $(2.5; 0)$.
Ответ: $(2.5; 0)$.

б) $y = \frac{(x-4)(3x-15)}{x-9}$

Приравниваем функцию к нулю: $\frac{(x-4)(3x-15)}{x-9} = 0$.

1. Находим нули числителя:
$(x-4)(3x-15) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$
или
$3x - 15 = 0 \implies 3x = 15 \implies x_2 = 5$.

2. Проверяем область допустимых значений:
$x - 9 \neq 0 \implies x \neq 9$.
Оба корня ($4$ и $5$) не равны $9$, поэтому оба являются точками пересечения.

Координаты точек пересечения: $(4; 0)$ и $(5; 0)$.
Ответ: $(4; 0)$, $(5; 0)$.

в) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$

Приравниваем функцию к нулю: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 0$.

1. Находим нули числителя:
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

2. Проверяем область допустимых значений:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Корень $x_1 = 2$ не входит в область допустимых значений, поэтому он не является точкой пересечения графика с осью. В этой точке на графике будет разрыв ("выколотая" точка).
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $x \neq 2$.

Следовательно, существует только одна точка пересечения с координатами $(3; 0)$.
Ответ: $(3; 0)$.

г) $y = \frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3}$

Приравниваем функцию к нулю: $\frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3} = 0$.

1. Находим нули числителя:
$x^3 - 7x^2 + 12x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 7x + 12) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ или $x^2 - 7x + 12 = 0$.
Решаем квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, произведение равно $12$. Корни: $x_2 = 3$ и $x_3 = 4$.
Таким образом, нули числителя: $0, 3, 4$.

2. Проверяем область допустимых значений:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.
Корень $x_2 = 3$ не входит в область допустимых значений.
Корень $x_3 = 4$ удовлетворяет условию.

Координаты точек пересечения: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.
Ответ: $(0; 0)$, $(4; 0)$.