Номер 790, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 790, страница 178.

790. Докажите, что квадратный трёхчлен:

а) –x² + 20x – 103 не принимает положительных значений;

б) x² – 16x + 65 не принимает отрицательных значений.

a) $-x^2+20x-103=-\left(x^2-20x+103\right)=$

$=-\left(x^2-2·10x+{10}^2+3\right)=-\left({\left(x-10\right)}^2+3\right)<0$ - при любых x

б) $x^2-16x+65=x^2-2·8x+8^2+1={\left(x-8\right)}^2+1>0$ - при любых x

а) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $y = -x^2 + 20x - 103$ не принимает положительных значений, нужно найти его наибольшее значение и показать, что оно не является положительным. Один из способов сделать это — выделить полный квадрат.

1. Вынесем коэффициент $-1$ за скобки у первых двух слагаемых:

$y = -(x^2 - 20x) - 103$

2. Чтобы выражение в скобках стало полным квадратом, добавим и вычтем внутри скобок число, равное квадрату половины коэффициента при $x$. В данном случае это $(\frac{-20}{2})^2 = (-10)^2 = 100$.

$y = -(x^2 - 20x + 100 - 100) - 103$

3. Теперь свернём полный квадрат и упростим выражение:

$y = -((x - 10)^2 - 100) - 103$

$y = -(x - 10)^2 + 100 - 103$

$y = -(x - 10)^2 - 3$

4. Проанализируем полученное выражение. Выражение $(x - 10)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю: $(x - 10)^2 \ge 0$.

Если умножить это неравенство на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-(x - 10)^2 \le 0$.

Прибавив (вычтя) $-3$ к обеим частям, получим: $-(x - 10)^2 - 3 \le -3$.

Таким образом, $y \le -3$ для любого значения $x$. Наибольшее значение трёхчлена равно $-3$ (достигается при $x=10$). Поскольку все значения трёхчлена меньше или равны $-3$, он не может принимать положительных значений.

Ответ: Наибольшее значение трёхчлена равно $-3$, поэтому он не принимает положительных значений.

б) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $y = x^2 - 16x + 65$ не принимает отрицательных значений, нужно найти его наименьшее значение и показать, что оно не является отрицательным. Для этого также выделим полный квадрат.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, поэтому сразу перейдём к выделению полного квадрата для первых двух слагаемых.

2. Добавим и вычтем число, равное квадрату половины коэффициента при $x$. В данном случае это $(\frac{-16}{2})^2 = (-8)^2 = 64$.

$y = (x^2 - 16x + 64) - 64 + 65$

3. Свернём полный квадрат и упростим выражение:

$y = (x - 8)^2 + 1$

4. Проанализируем полученное выражение. Выражение $(x - 8)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x - 8)^2 \ge 0$.

Прибавив $1$ к обеим частям неравенства, получим: $(x - 8)^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, $y \ge 1$ для любого значения $x$. Наименьшее значение трёхчлена равно $1$ (достигается при $x=8$). Поскольку все значения трёхчлена больше или равны $1$, он не может принимать отрицательных значений.

Ответ: Наименьшее значение трёхчлена равно $1$, поэтому он не принимает отрицательных значений.