Страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

781. Зная, что уравнение x2 + px + q = 0 имеет корни x₁ и x₂, составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

а) 3x₁ и 3x₂;

б) x₁ + 2 и x₂ + 2.

$x^2+px+q=0; x_1\text{ и }{x}_2$ - его корни

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}_1+x_2=-p \\ 3x_1+3x_2=-3p \\ {x}^2+3px+9q=0 \\ {x}_1·x_2=q \\ 3x_1·3x_2=9x_1{x}_2=9q \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}_1+x_2=-p \\ {x}_1+2+x_2+2=-p+4=-\left(p-4\right) \\ {x}_1·x_2=q \\ \left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)=x_1{x}_2+2x_1+2x_2+4=x_1{x}_2+ \\ +2\left(x_1+x_2\right)+4=q+2·\left(-p\right)+4=q-2p+4 \\ {x}^2+\left(p-4\right)x+\left(q-2p+4\right)=0 \end{gathered}$$

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для исходного приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Чтобы составить новое квадратное уравнение вида $y^2 + p'y + q' = 0$ с корнями $y_1$ и $y_2$, нам нужно найти их сумму $y_1 + y_2$ и произведение $y_1 \cdot y_2$. Тогда коэффициенты нового уравнения будут равны $p' = -(y_1 + y_2)$ и $q' = y_1 \cdot y_2$.

а) Новые корни: $y_1 = 3x_1$ и $y_2 = 3x_2$.

Найдем их сумму:

$y_1 + y_2 = 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2)$

Подставим значение $x_1 + x_2 = -p$:

$y_1 + y_2 = 3(-p) = -3p$

Теперь найдем их произведение:

$y_1 \cdot y_2 = (3x_1) \cdot (3x_2) = 9(x_1 \cdot x_2)$

Подставим значение $x_1 \cdot x_2 = q$:

$y_1 \cdot y_2 = 9q$

Теперь составим новое квадратное уравнение $x^2 - (y_1+y_2)x + (y_1 \cdot y_2) = 0$.

$x^2 - (-3p)x + 9q = 0$

$x^2 + 3px + 9q = 0$

Ответ: $x^2 + 3px + 9q = 0$.

б) Новые корни: $y_1 = x_1 + 2$ и $y_2 = x_2 + 2$.

Найдем их сумму:

$y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = (x_1 + x_2) + 4$

Подставим значение $x_1 + x_2 = -p$:

$y_1 + y_2 = -p + 4 = 4 - p$

Теперь найдем их произведение:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4$

Подставим значения $x_1 \cdot x_2 = q$ и $x_1 + x_2 = -p$:

$y_1 \cdot y_2 = q + 2(-p) + 4 = q - 2p + 4$

Теперь составим новое квадратное уравнение $x^2 - (y_1+y_2)x + (y_1 \cdot y_2) = 0$.

$x^2 - (4 - p)x + (q - 2p + 4) = 0$

$x^2 + (p - 4)x + (q - 2p + 4) = 0$

Ответ: $x^2 + (p-4)x + q - 2p + 4 = 0$.

782. Известно, что уравнение x² + px + q = 0 имеет корни x₁ и x₂. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа x₁x₂ и x₂x₁.

$$\begin{gathered} x^2+px+q=0, x_1\text{ и }{x}_2\text{ - его корни} \\ {x}_1+x_2=-p; x_1{x}_2=q \\ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}=\frac{x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}= \\ =\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}=\frac{p^2-2q}{q} \\ \frac{x_1}{x_2}·\frac{x}{x_1}=1 \\ {x}^2-\frac{p^2-2q}{q}x+1=0 \mathrm{/}·q \\ q{x}^2-\left(p^2-2q\right)x+q=0 \end{gathered}$$

Пусть дано приведённое квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$, корнями которого являются $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

Нам необходимо составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут числа $y_1 = \frac{x_1}{x_2}$ и $y_2 = \frac{x_2}{x_1}$. Для того чтобы эти корни существовали, необходимо, чтобы знаменатели не равнялись нулю, то есть $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Это, в свою очередь, означает, что их произведение $q = x_1 x_2 \neq 0$.

Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Если известны корни $y_1$ и $y_2$ некоторого приведённого квадратного уравнения, то его можно записать в виде $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0$. Для этого нам нужно найти сумму и произведение новых корней.

1. Найдём сумму новых корней $S = y_1 + y_2$: $S = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$ Чтобы выразить числитель через известные нам $p$ и $q$, воспользуемся тождеством: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ Подставим в это тождество соотношения из теоремы Виета для исходного уравнения: $x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q$ Теперь можем вычислить сумму новых корней: $S = y_1 + y_2 = \frac{p^2 - 2q}{q}$

2. Найдём произведение новых корней $P = y_1 \cdot y_2$: $P = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1$

3. Теперь подставим найденные значения суммы $S$ и произведения $P$ в общую формулу приведённого квадратного уравнения: $y^2 - S \cdot y + P = 0$ $y^2 - \left(\frac{p^2 - 2q}{q}\right)y + 1 = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами (относительно $p$ и $q$), умножим обе части уравнения на $q$ (мы уже выяснили, что $q \neq 0$): $q \cdot y^2 - q \cdot \left(\frac{p^2 - 2q}{q}\right)y + q \cdot 1 = q \cdot 0$ $q y^2 - (p^2 - 2q)y + q = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение.

Ответ: $q y^2 - (p^2 - 2q)y + q = 0$

783. Найдите корни квадратного трёхчлена:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{6}{x}^2+\frac{2}{3}x-2=0 \mathrm{/}·6 \\ {x}^2+4x-12=0 \\ D=4^2-4·1·\left(-12\right)=16+48=64 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{64}}{2}; x=\frac{-4\pm 8}{2} \\ {x}_1=2; x_2=-6 \end{gathered}$$

Ответ: -6; 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}=0 \mathrm{/}·12 \\ 6x^2-4x-3=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·6·\left(-3\right)=16+72=88 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{88}}{12}; x=\frac{4\pm 2\sqrt{22}}{12} \\ {x}_1=\frac{2\left(2+\sqrt{22}\right)}{12}=\frac{2+\sqrt{22}}{6} \\ {x}_2=\frac{2\left(2-\sqrt{22}\right)}{12}=\frac{2-\sqrt{22}}{6} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2+\sqrt{22}}{6}\backslash frac\{2\; +\; \backslash sqrt\{22\}\}\{6\}$, $\frac{2-\sqrt{22}}{6}\backslash frac\{2\; -\; \backslash sqrt\{22\}\}\{6\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -x^2+4x-2\frac{2}{4}=0 \\ {x}^2+4x-2,5=0 \\ D=4^2-4·\left(1\right)·\left(-2,5\right)=16-10=6 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{6}}{-2}; x=\frac{-4\pm \sqrt{6}}{-2} \\ {x}_1=\frac{4+\sqrt{6}}{2}; x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{2} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{4+\sqrt{6}}{2}\backslash frac\{4\; +\; \backslash sqrt\{6\}\}\{2\}$; $\frac{4-\sqrt{6}}{2}\backslash frac\{4\; -\; \backslash sqrt\{6\}\}\{2\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}0,4x^2-x+0,2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·0,4·0,2=1-0,32=0,68=\frac{68}{100}=\frac{17}{25} \\ x=\frac{1\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{17}{25}}}}{0,8}; x=\frac{1\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{5}}}{0,8} \\ {x}_1=\frac{1+{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{5}}}{0,8}=\frac{5+\sqrt{17}}{5}·\frac{10}{8}=\frac{2\left(5+\sqrt{17}\right)}{8}= \\ =\frac{5+\sqrt{17}}{4} \\ {x}_2=\frac{1-{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{5}}}{0,8}=\frac{5-\sqrt{17}}{5}·\frac{10}{8}=\frac{2\left(5-\sqrt{17}\right)}{8}= \\ =\frac{5-\sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{5+\sqrt{17}}{4}\backslash frac\{5\; +\; \backslash sqrt\{17\}\}\{4\}$; $\frac{5-\sqrt{17}}{4}\backslash frac\{5\; -\; \backslash sqrt\{17\}\}\{4\}$

а) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2 $, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение:

$ \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2 = 0 $

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (6 и 3), то есть на 6:

$ 6 \cdot \left(\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2\right) = 6 \cdot 0 $

$ x^2 + 4x - 12 = 0 $

Это приведённое квадратное уравнение вида $ ax^2 + bx + c = 0 $, где $ a=1, b=4, c=-12 $.

Вычислим дискриминант по формуле $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

$ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $

Ответ: $ -6; 2 $.

б) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4} $, приравняем его к нулю:

$ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4} = 0 $

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3 и 4), то есть на 12:

$ 12 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}\right) = 12 \cdot 0 $

$ 6x^2 - 4x - 3 = 0 $

Коэффициенты уравнения: $ a=6, b=-4, c=-3 $.

Вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 16 + 72 = 88 $

Найдём корни по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 22}}{12} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{12} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ x_{1,2} = \frac{2(2 \pm \sqrt{22})}{12} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6} $

Ответ: $ \frac{2 - \sqrt{22}}{6}; \frac{2 + \sqrt{22}}{6} $.

в) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ -x^2 + 4x - 2\frac{2}{4} $, приравняем его к нулю. Сначала упростим свободный член:

$ 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2} = 2,5 $

Получаем уравнение:

$ -x^2 + 4x - 2,5 = 0 $

Умножим обе части уравнения на -2, чтобы избавиться от десятичной дроби и сделать старший коэффициент положительным:

$ -2(-x^2 + 4x - 2,5) = -2 \cdot 0 $

$ 2x^2 - 8x + 5 = 0 $

Коэффициенты: $ a=2, b=-8, c=5 $.

Вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 - 40 = 24 $

Найдём корни по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} $

Сократим дробь на 2:

$ x_{1,2} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2} $

Ответ: $ \frac{4 - \sqrt{6}}{2}; \frac{4 + \sqrt{6}}{2} $.

г) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ 0,4x^2 - x + 0,2 $, приравняем его к нулю:

$ 0,4x^2 - x + 0,2 = 0 $

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$ 10(0,4x^2 - x + 0,2) = 10 \cdot 0 $

$ 4x^2 - 10x + 2 = 0 $

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$ 2x^2 - 5x + 1 = 0 $

Коэффициенты: $ a=2, b=-5, c=1 $.

Вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17 $

Найдём корни по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} $

Ответ: $ \frac{5 - \sqrt{17}}{4}; \frac{5 + \sqrt{17}}{4} $.

784. Составьте какой-нибудь квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}_1=-7; x_2=2 \\ -p=x_1+x_2=-7+2=-5; p=5 \\ q=x_1·x_2=-7·2=-14 \\ {x}^2+5x-14 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}_1=3-\sqrt{2}; x_2=3+\sqrt{2} \\ -p=x_1+x_2=3-\sqrt{2}+3+\sqrt{2}=6; p=-6 \\ q=x_1·x_2=\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)=9-4=5 \\ {x}^2-6x+5 \end{gathered}$$

Чтобы составить квадратный трёхчлен по его корням $x_1$ и $x_2$, можно использовать формулу, основанную на обратной теореме Виета. Если выбрать старший коэффициент равным 1 (такой трёхчлен называется приведённым), то формула будет выглядеть так: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.

а) Даны корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.
Найдём сумму корней: $x_1 + x_2 = -7 + 2 = -5$.
Найдём произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 2 = -14$.
Теперь подставим найденные значения в формулу:
$x^2 - (-5)x + (-14) = x^2 + 5x - 14$.
Ответ: $x^2 + 5x - 14$.

б) Даны корни $x_1 = 3 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.
Найдём сумму корней: $x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} = 6$.
Найдём произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.
Подставим найденные значения в формулу:
$x^2 - (6)x + 7 = x^2 - 6x + 7$.
Ответ: $x^2 - 6x + 7$.

785. При каком значении р выражение 2px² – 2x – 2p – 3 становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число нуль? Найдите другой корень.

$$\begin{gathered} 2p{x}^2-2x-2p-3 \\ {x}_1=0 \\ 2p·0^2-2·0-2p-3=0 \\ -2p-3=0 \\ -2p=3 \\ p=-1,5 \\ 2·\left(-1,5\right)x^2-2x-2·\left(-1,5\right)-3=0 \\ -3x^2-2x+3-3=0 \\ -3x^2-2x=0 \\ x\left(-3x-2\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& -3x-2=0\\ & & -3x=2\\ & & x=-\frac{2}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $p=-1,5; x_2=-\frac{2}{3}$

При каком значении p выражение становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число ноль?

Выражение $2px^2 - 2x - 2p - 3$ является квадратным трёхчленом, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. В данном случае это означает, что $2p \neq 0$, следовательно, $p \neq 0$.

Если число ноль является корнем квадратного трёхчлена, то при подстановке $x=0$ в выражение, оно должно обратиться в ноль. Приравняем выражение к нулю и подставим $x=0$:

$2px^2 - 2x - 2p - 3 = 0$

$2p(0)^2 - 2(0) - 2p - 3 = 0$

$0 - 0 - 2p - 3 = 0$

$-2p - 3 = 0$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $p$:

$-2p = 3$

$p = -\frac{3}{2}$

Это значение удовлетворяет условию $p \neq 0$, так как $-\frac{3}{2} \neq 0$.

Ответ: $p = -3/2$.

Найдите другой корень.

Подставим найденное значение $p = -3/2$ в исходное уравнение $2px^2 - 2x - 2p - 3 = 0$:

$2(-\frac{3}{2})x^2 - 2x - 2(-\frac{3}{2}) - 3 = 0$

Упростим полученное уравнение:

$-3x^2 - 2x - (-3) - 3 = 0$

$-3x^2 - 2x + 3 - 3 = 0$

$-3x^2 - 2x = 0$

Для нахождения корней вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(-3x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

1. $x_1 = 0$ (этот корень был дан в условии).

2. $-3x - 2 = 0$, откуда $-3x = 2$, и, следовательно, $x_2 = -\frac{2}{3}$.

Таким образом, другой корень уравнения равен $-2/3$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

786. Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}2x^2-10x+3=0 \\ D={\left(-10\right)}^2-4·2·3=100-24=76>0 \\ {x}^2-5x+1,5=0 \\ {x}_1+x_2=5 \\ {x}_1·x_2=1,5 \end{gathered}$$

Ответ: 5; 1,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{3}{x}^2+7x-2=0 \\ D=7^2-4·\frac{1}{3}·\left(-2\right)=49+\frac{8}{3}=51\frac{2}{3}>0 \\ {x}^2+21x-6=0 \\ {x}_1+x_2=-21;x_1·x_2=-6 \end{gathered}$$

Ответ: -21; -6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}0,5x^2+6x+1=0 \\ D=6^2-4·0,5·1=36-2=34>0 \\ {x}^2+12x+2=0 \\ {x}_1+x_2=-12;x_1·x_2=2 \end{gathered}$$

Ответ: -12; 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=0 \\ D={\left(\frac{1}{3}\right)}^2-4·\left(-\frac{1}{2}\right)·\frac{1}{2}=\frac{1}{9}+1=1\frac{1}{9}>0 \\ {x}^2-\frac{2}{3}x-1=0 \\ {x}_1+x_2=\frac{2}{3};x_1·x_2=-1 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2}{3}; -1$

а) Для квадратного трёхчлена $2x^2 - 10x + 3$ коэффициенты равны $a=2, b=-10, c=3$.
Чтобы доказать, что трёхчлен имеет корни, необходимо найти его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 100 - 24 = 76$.
Поскольку дискриминант $D = 76 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня.
Сумму и произведение корней найдём по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{2} = 5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: существование корней доказано ($D>0$), сумма корней равна 5, произведение корней равно 1,5.

б) Для квадратного трёхчлена $\frac{1}{3}x^2 + 7x - 2$ коэффициенты равны $a=\frac{1}{3}, b=7, c=-2$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-2) = 49 + \frac{8}{3} = \frac{147+8}{3} = \frac{155}{3}$.
Поскольку дискриминант $D = \frac{155}{3} > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.
Согласно теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{1/3} = -21$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1/3} = -6$.
Ответ: существование корней доказано ($D>0$), сумма корней равна -21, произведение корней равно -6.

в) для квадратного трёхчлена $0,5x^2 + 6x + 1$ коэффициенты равны $a=0,5, b=6, c=1$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot 1 = 36 - 2 = 34$.
Поскольку дискриминант $D = 34 > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.
Согласно теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{0,5} = -12$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{0,5} = 2$.
Ответ: существование корней доказано ($D>0$), сумма корней равна -12, произведение корней равно 2.

г) Для квадратного трёхчлена $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$ коэффициенты равны $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{2}$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (\frac{1}{3})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней. Однако в множестве комплексных чисел любой многочлен имеет корни (согласно основной теореме алгебры). Следовательно, данный трёхчлен имеет два комплексных корня.
Теорема Виета справедлива и для комплексных корней:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1/3}{1/2} = -\frac{2}{3}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.
Ответ: существование корней (в поле комплексных чисел) доказано ($D<0$), сумма корней равна $-\frac{2}{3}$, произведение корней равно 1.

787. Найдите трёхчлен вида x² + px + q, корнями которого являются не равные нулю числа p и q.

$$\begin{gathered} x^2+px+q=0 \\ {x}_1=p, x_2=q, p\ne 0, q\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-p\\ x_1·x_2=q\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}p+q=-p\\ p·q=q\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2p=-q\\ q\left(p-1\right)=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}p=1\\ 2=-q\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}p=1\\ q=-2\end{array}\right. \\ {x}^2+x-2 \end{gathered}$$

Пусть искомый трёхчлен имеет вид $x^2 + px + q$. По условию задачи, его корнями являются числа $p$ и $q$, причём $p \neq 0$ и $q \neq 0$.

Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета, сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($x_1+x_2 = -B$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = C$).

В нашем случае уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$, его корни $x_1 = p$ и $x_2 = q$. Применяя теорему Виета, составим систему уравнений: $ \begin{cases} p + q = -p \\ p \cdot q = q \end{cases} $

Решим эту систему. Рассмотрим второе уравнение: $p \cdot q = q$. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $q$ за скобки:
$p \cdot q - q = 0$
$q(p - 1) = 0$

Это равенство верно, если $q=0$ или $p-1=0$. По условию задачи $q$ не равно нулю ($q \neq 0$), следовательно, единственно возможным решением является $p-1=0$, откуда получаем $p=1$.

Теперь подставим найденное значение $p=1$ в первое уравнение системы $p + q = -p$:
$1 + q = -1$
$q = -1 - 1 = -2$

Таким образом, мы нашли коэффициенты: $p=1$ и $q=-2$. Они удовлетворяют условию, так как не равны нулю. Подставляем найденные значения в искомый трёхчлен $x^2 + px + q$:
$x^2 + (1)x + (-2) = x^2 + x - 2$

Ответ: $x^2 + x - 2$

788. Пусть a и b — корни трёхчлена x² + px + q, причём ab = 4 и a + b = 3. Чему равно a и чему равно b?

$$\begin{gathered} x^2+px+q=0 \\ {x}_1=a, x_2=b \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ \sqrt{a}+\sqrt{b}=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2=3^2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ a+2\sqrt{ab}+b=9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ a+2\sqrt{4}+b=9\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ a+b+4=9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ a+b=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a=5-b\\ \left(5-b\right)b=4\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 5b-b^2=4=0 \\ {b}^2-5b+4=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ b=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}, b=\frac{5\pm 3}{2} \\ {b}_1=4; b_2=1 \end{gathered}$$

Если b=4, то 4a=4; a=1,

Если b=1, то a=4

Ответ: 1 и 4

По условию, $a$ и $b$ являются корнями трёхчлена $x^2 + px + q$. Согласно теореме Виета, для приведённого квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$) справедливы следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

Сумма корней: $a + b = -p$

Произведение корней: $ab = q$

В задаче даны два условия:

1. $ab = 4$

2. $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3$

Из первого условия и теоремы Виета мы можем сразу определить коэффициент $q$: $q = ab = 4$.

Теперь найдём значения $a$ и $b$, используя систему из двух данных уравнений. Отметим, что для существования $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ в области действительных чисел, должно выполняться $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Возведём обе части второго уравнения в квадрат:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 3^2$

$(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = 9$

$a + 2\sqrt{ab} + b = 9$

Теперь мы можем подставить в это уравнение значение $ab$ из первого условия ($ab = 4$):

$a + b + 2\sqrt{4} = 9$

$a + b + 2 \cdot 2 = 9$

$a + b + 4 = 9$

Отсюда находим сумму $a$ и $b$:

$a + b = 9 - 4 = 5$

Таким образом, мы получили новую систему уравнений для нахождения $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ ab = 4 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$, удовлетворяющие этой системе, являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставив найденные значения суммы и произведения, получим уравнение:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Это квадратное уравнение легко решается, например, путём разложения на множители. Найдём два числа, произведение которых равно 4, а сумма равна 5. Это числа 1 и 4. Таким образом:

$(t - 1)(t - 4) = 0$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Следовательно, искомые числа $a$ и $b$ — это 1 и 4. Поскольку исходная система уравнений симметрична относительно $a$ и $b$, то возможны два варианта: $a = 1, b = 4$ или $a = 4, b = 1$.

Проверим решение, подставив значения, например, $a=4$ и $b=1$ в исходные условия:

1. $ab = 4 \cdot 1 = 4$ (верно)

2. $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$ (верно)

Оба условия выполняются.

Ответ: Значения $a$ и $b$ равны 1 и 4.

789. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $2x^2-3x+7=2\left(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}\right)=$
$$\begin{gathered} =2\left(x^2-2·\frac{3}{4}x+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{7}{2}\right)= \\ =2\left({\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2-\frac{9}{16}+\frac{56}{16}\right)=2\left({\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{47}{16}\right)= \\ =2{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{47}{8}=2{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+5\frac{7}{8} \end{gathered}$$

б) $-3x^2+4x-1=-3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\right)=$
$$\begin{gathered} =-3\left(x^2-2·\frac{2}{3}x+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{1}{3}\right)= \\ =-3\left({\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{4}{9}+\frac{3}{9}\right)=-3\left({\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{1}{9}\right)= \\ =-3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{1}{3} \end{gathered}$$

в) $5x^2-3x=5\left(x^2-\frac{3}{5}x\right)=5\left(x^2-2·\frac{3}{10}x\right)=$
$$\begin{gathered} =5\left(x^2-2·\frac{3}{10}x+{\left(\frac{3}{10}\right)}^2-{\left(\frac{3}{10}\right)}^2\right)= \\ =5\left({\left(x-\frac{3}{10}\right)}^2-\frac{9}{100}\right)=5{\left(x-\frac{3}{10}\right)}^2-\frac{9}{20} \end{gathered}$$

г) $-4x^2+8x=-\left(4x^2-8x\right)=-\left({\left(2x\right)}^2-2·2x·2\right)=$
$$\begin{gathered} =-\left({\left(2x\right)}^2-2·2x·2+2^2-2^2\right)= \\ =-\left({\left(2x-2\right)}^2-4\right)=-{\left(2x-2\right)}^2+4 \end{gathered}$$

а) $2x^2 - 3x + 7$

Для выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ используется метод дополнения до полного квадрата. Этот метод основан на формулах квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Вынесем коэффициент при $x^2$ за скобки из первых двух слагаемых:

$2x^2 - 3x + 7 = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 7$.

2. В выражении в скобках $x^2 - \frac{3}{2}x$ член $-\frac{3}{2}x$ должен стать удвоенным произведением первого слагаемого ($x$) на второе. Чтобы найти второе слагаемое, разделим коэффициент при $x$ на 2: $(-\frac{3}{2}) \div 2 = -\frac{3}{4}$.

3. Чтобы получить полный квадрат, нам нужно добавить и вычесть квадрат второго слагаемого, то есть $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$, внутри скобок:

$2(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) + 7$.

4. Первые три слагаемых в скобках теперь образуют полный квадрат разности $(x - \frac{3}{4})^2$:

$2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 7$.

5. Раскроем скобки, умножив 2 на каждое слагаемое внутри них:

$2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{9}{16} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{18}{16} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 7$.

6. Приведем свободные члены к общему знаменателю и сложим их:

$-\frac{9}{8} + 7 = -\frac{9}{8} + \frac{56}{8} = \frac{47}{8}$.

В результате получаем:

$2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{47}{8}$.

Ответ: $2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{47}{8}$.

б) $-3x^2 + 4x - 1$

1. Вынесем коэффициент при $x^2$ за скобки:

$-3(x^2 - \frac{4}{3}x) - 1$.

2. Найдем второе слагаемое для полного квадрата, разделив коэффициент при $x$ на 2: $(-\frac{4}{3}) \div 2 = -\frac{2}{3}$.

3. Добавим и вычтем квадрат этого слагаемого, $(-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$, внутри скобок:

$-3(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) - 1$.

4. Свернем первые три слагаемых в скобках в полный квадрат:

$-3((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) - 1$.

5. Раскроем скобки:

$-3(x - \frac{2}{3})^2 - (-3) \cdot \frac{4}{9} - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{12}{9} - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1$.

6. Сложим свободные члены:

$\frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$.

Итоговое выражение:

$-3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$.

Ответ: $-3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$.

в) $5x^2 - 3x$

1. Вынесем коэффициент 5 за скобки:

$5(x^2 - \frac{3}{5}x)$.

2. Найдем второе слагаемое для полного квадрата: $(-\frac{3}{5}) \div 2 = -\frac{3}{10}$.

3. Добавим и вычтем квадрат этого слагаемого, $(-\frac{3}{10})^2 = \frac{9}{100}$, внутри скобок:

$5(x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{9}{100} - \frac{9}{100})$.

4. Свернем полный квадрат:

$5((x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{100})$.

5. Раскроем скобки:

$5(x - \frac{3}{10})^2 - 5 \cdot \frac{9}{100} = 5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{45}{100}$.

6. Сократим дробь $\frac{45}{100}$ на 5: $\frac{9}{20}$.

Итоговое выражение:

$5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{20}$.

Ответ: $5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{20}$.

г) $-4x^2 + 8x$

1. Вынесем коэффициент -4 за скобки:

$-4(x^2 - 2x)$.

2. Найдем второе слагаемое для полного квадрата: $(-2) \div 2 = -1$.

3. Добавим и вычтем квадрат этого слагаемого, $(-1)^2 = 1$, внутри скобок:

$-4(x^2 - 2x + 1 - 1)$.

4. Свернем полный квадрат:

$-4((x - 1)^2 - 1)$.

5. Раскроем скобки:

$-4(x - 1)^2 - (-4) \cdot 1 = -4(x - 1)^2 + 4$.

Ответ: $-4(x - 1)^2 + 4$.

790. Докажите, что квадратный трёхчлен:

а) –x² + 20x – 103 не принимает положительных значений;

б) x² – 16x + 65 не принимает отрицательных значений.

a) $-x^2+20x-103=-\left(x^2-20x+103\right)=$

$=-\left(x^2-2·10x+{10}^2+3\right)=-\left({\left(x-10\right)}^2+3\right)<0$ - при любых x

б) $x^2-16x+65=x^2-2·8x+8^2+1={\left(x-8\right)}^2+1>0$ - при любых x

а) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $y = -x^2 + 20x - 103$ не принимает положительных значений, нужно найти его наибольшее значение и показать, что оно не является положительным. Один из способов сделать это — выделить полный квадрат.

1. Вынесем коэффициент $-1$ за скобки у первых двух слагаемых:

$y = -(x^2 - 20x) - 103$

2. Чтобы выражение в скобках стало полным квадратом, добавим и вычтем внутри скобок число, равное квадрату половины коэффициента при $x$. В данном случае это $(\frac{-20}{2})^2 = (-10)^2 = 100$.

$y = -(x^2 - 20x + 100 - 100) - 103$

3. Теперь свернём полный квадрат и упростим выражение:

$y = -((x - 10)^2 - 100) - 103$

$y = -(x - 10)^2 + 100 - 103$

$y = -(x - 10)^2 - 3$

4. Проанализируем полученное выражение. Выражение $(x - 10)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю: $(x - 10)^2 \ge 0$.

Если умножить это неравенство на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-(x - 10)^2 \le 0$.

Прибавив (вычтя) $-3$ к обеим частям, получим: $-(x - 10)^2 - 3 \le -3$.

Таким образом, $y \le -3$ для любого значения $x$. Наибольшее значение трёхчлена равно $-3$ (достигается при $x=10$). Поскольку все значения трёхчлена меньше или равны $-3$, он не может принимать положительных значений.

Ответ: Наибольшее значение трёхчлена равно $-3$, поэтому он не принимает положительных значений.

б) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $y = x^2 - 16x + 65$ не принимает отрицательных значений, нужно найти его наименьшее значение и показать, что оно не является отрицательным. Для этого также выделим полный квадрат.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, поэтому сразу перейдём к выделению полного квадрата для первых двух слагаемых.

2. Добавим и вычтем число, равное квадрату половины коэффициента при $x$. В данном случае это $(\frac{-16}{2})^2 = (-8)^2 = 64$.

$y = (x^2 - 16x + 64) - 64 + 65$

3. Свернём полный квадрат и упростим выражение:

$y = (x - 8)^2 + 1$

4. Проанализируем полученное выражение. Выражение $(x - 8)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x - 8)^2 \ge 0$.

Прибавив $1$ к обеим частям неравенства, получим: $(x - 8)^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, $y \ge 1$ для любого значения $x$. Наименьшее значение трёхчлена равно $1$ (достигается при $x=8$). Поскольку все значения трёхчлена больше или равны $1$, он не может принимать отрицательных значений.

Ответ: Наименьшее значение трёхчлена равно $1$, поэтому он не принимает отрицательных значений.

791. Найдите наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена:

а) 3x² – 4x + 5;

б) –3x² + 12x.

а) $3x^2-4x+5=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\right)=$

$$\begin{gathered} =3\left(x^2-2·\frac{2}{3}x+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{5}{3}\right)= \\ =3\left({\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{4}{9}+\frac{15}{9}\right)=3\left({\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{11}{9}\right)= \\ =3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{11}{3}=3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+3\frac{2}{3} \end{gathered}$$

при $x=\frac{2}{3}x=\backslash frac\{2\}\{3\}$ наименьшее значение равно $3\frac{2}{3}3\backslash frac\{2\}\{3\}$

Ответ: $3\frac{2}{3}3\backslash frac\{2\}\{3\}$

б) $-3x^2+12x=-3\left(x^2-4x\right)=$

$$\begin{gathered} =-3\left(x^2-2·2x+2^2-2^2\right)=-3\left({\left(x-2\right)}^2-4\right)= \\ =-3{\left(x-2\right)}^2+12 \end{gathered}$$

при x=2 наибольшее значение равно 12

Ответ: 12

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трехчлена вида $y = ax^2 + bx + c$, нужно определить, куда направлены ветви параболы, и найти координаты ее вершины $(x_0, y_0)$.

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. В этом случае функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае функция имеет наибольшее значение, которое также достигается в вершине параболы.

Координата $x_0$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Наибольшее или наименьшее значение трехчлена равно координате $y_0$, которую можно найти, подставив $x_0$ в исходное выражение: $y_0 = a(x_0)^2 + b(x_0) + c$.

а) $3x^2 - 4x + 5$

Для данного трехчлена коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -4$, $c = 5$.

Поскольку $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх, значит, трехчлен имеет наименьшее значение.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем наименьшее значение, подставив $x_0 = \frac{2}{3}$ в трехчлен:

$y_{min} = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{15}{3} = \frac{4 - 8 + 15}{3} = \frac{11}{3}$.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{11}{3}$.

б) $-3x^2 + 12x$

Для данного трехчлена коэффициенты равны: $a = -3$, $b = 12$, $c = 0$.

Поскольку $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз, значит, трехчлен имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$.

Теперь найдем наибольшее значение, подставив $x_0 = 2$ в трехчлен:

$y_{max} = -3(2)^2 + 12(2) = -3 \cdot 4 + 24 = -12 + 24 = 12$.

Ответ: наибольшее значение равно 12.