Страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

830. Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

Пусть за x ч мог выполнить всю работу второй слесарь, тогда за (x+5)ч мог выполнить всю работу первый слесарь. Зная, что сначала 1ч работал первый слесарь и затем 4ч они работали вместе и выполнили 40% заказа, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 1·\frac{1}{x+5}+4·\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\right)=0,4·1 \\ \frac{1}{x+5}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x+5}=0,4 \\ \frac{5}{x+5}+\frac{4}{x}=0,4 /·x\left(x+5\right) \\ 5x+4\left(x+5\right)=0,4x\left(x+5\right) \\ 5x+4x+20=0,4x^2+2x \\ 0,4x^2+2x-9x-20=0 \\ 0,4x^2-7x-20=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·0,4·\left(-20\right)=49+32=81 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{81}}{0,8}; x=\frac{7\pm 9}{0,8} \end{gathered}$$

$x_1=20; x_2=-\frac{20}{8}<0$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

20+5=25(ч) - мог выполнить всю работу первый слесарь

Ответ: 25ч и 20ч

Пусть $x$ часов — время, за которое второй слесарь может выполнить весь заказ, работая самостоятельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию, первому слесарю для выполнения заказа в одиночку понадобится на 5 часов больше, чем второму. Следовательно, время первого слесаря составляет $(x + 5)$ часов, а его производительность — $\frac{1}{x+5}$.

Сначала 1 час работал первый слесарь. Объем выполненной им работы равен:$1 \cdot \frac{1}{x+5} = \frac{1}{x+5}$

Затем 4 часа они работали вместе. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:$\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}$

За 4 часа совместной работы они выполнили объем работы, равный:$4 \cdot (\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x})$

В результате было выполнено 40% заказа, что в долях составляет 0,4. Составим уравнение, сложив объемы работ, выполненные на каждом этапе:$\frac{1}{x+5} + 4 \cdot (\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}) = 0,4$

Раскроем скобки и упростим уравнение:$\frac{1}{x+5} + \frac{4}{x+5} + \frac{4}{x} = 0,4$$\frac{5}{x+5} + \frac{4}{x} = 0,4$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:$\frac{5x + 4(x+5)}{x(x+5)} = 0,4$$\frac{5x + 4x + 20}{x^2 + 5x} = 0,4$$\frac{9x + 20}{x^2 + 5x} = 0,4$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на $x^2 + 5x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$, что выполняется, так как $x$ — время):$9x + 20 = 0,4(x^2 + 5x)$$9x + 20 = 0,4x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$0,4x^2 + 2x - 9x - 20 = 0$$0,4x^2 - 7x - 20 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:$4x^2 - 70x - 200 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:$2x^2 - 35x - 100 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-100) = 1225 + 800 = 2025$$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

$x_1 = \frac{-(-35) + 45}{2 \cdot 2} = \frac{35 + 45}{4} = \frac{80}{4} = 20$$x_2 = \frac{-(-35) - 45}{2 \cdot 2} = \frac{35 - 45}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Корень $x_2 = -2,5$ не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательным. Поэтому время работы второго слесаря $x = 20$ часов.

Время работы первого слесаря:$x + 5 = 20 + 5 = 25$ часов.

Ответ: первому слесарю для выполнения заказа потребовалось бы 25 часов, а второму — 20 часов.

831. При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности?

Примем работу за 1, тогда $\frac{1}{6}$ - общая производительность (скорость) копировальных машин. Пусть х - производительность первой машины, тогда $\frac{1}{6}-x$ - производительность второй машини. Время, за которое первая машина выполнила $\frac{1}{2}$ работы равно $\frac{1}{2x}$мин, а время, за которое выполнила $\frac{1}{2}$ работы вторая машина равно $\frac{1}{2\left(\frac{1}{6}-x\right)}$мин

Зная, что всю работу они закончили через 12,5мин, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{2x}+\frac{1}{2\left({\displaystyle \frac{1}{6}-x}\right)}=12,5 \\ \frac{1}{2x}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{3}-2x}}=12,5 \\ \frac{1}{2x}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{1-6x}{3}}}=12,5 \\ \frac{1}{2x}+\frac{3}{1-6x}=12,5 /·2x\left(1-6x\right) \\ 1-6x+3·2x=12,5·2x\left(1-6x\right) \\ 1-6x+6x=25x-150x^2 \\ 150x^2-25x+1=0 \\ D={\left(-25\right)}^2-4·150·1=625-600=25 \\ x=\frac{25\pm \sqrt{25}}{300}; x=\frac{25\pm 5}{300} \\ {x}_1=\frac{1}{10}; x_2=\frac{1}{15} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{1}{10}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{10\}$, то $2·\frac{1}{10}\left(1-6·\frac{1}{10}\right)\ne 0,$

если $x=\frac{1}{15}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{15\}$, то $2·\frac{1}{15}\left(1-6·\frac{1}{15}\right)\ne 0$

$1:\frac{1}{10}=1·10=10$(мин) - выполнит всю работу первая машина или $1:\frac{1}{15}=1·15=15\left(\text{мин}\right)1\; :\; \backslash frac\{1\}\{15\}\; =\; 1\; \backslash cdot\; 15\; =\; 15\; (мин)$

Если $x=\frac{1}{10}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{10\}$, то $\frac{1}{6}-x=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{5-3}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15},$

Если $x=\frac{1}{15}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{15\}$, то $\frac{1}{6}-x=\frac{1}{6}-\frac{1}{15}=\frac{5-2}{30}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\backslash frac\{1\}\{6\}\; -\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{15\}\; =\; \backslash frac\{5-2\}\{30\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{30\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{10\}$

Следовательно, если за 10мин выполнит всю работу первая машина, то вторая машина её выполнит за 15 мин и, наоборот, если первая машина её выполнит за 15мин, то вторая - за 10мин

Ответ: 15 мин и 10 мин

Обозначим всю работу по ксерокопированию рукописи за 1 (единицу).

Пусть $t_1$ – время (в минутах), за которое первая копировальная машина может выполнить всю работу самостоятельно, а $t_2$ – время (в минутах), за которое вторая машина может выполнить всю работу.

Тогда производительность первой машины (скорость работы) равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в минуту), а производительность второй машины – $p_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в минуту).

Согласно первому условию, при совместной работе две машины выполняют всю работу за 6 минут. Их совместная производительность равна $p_1 + p_2$. Можем составить первое уравнение, используя формулу "работа = производительность ? время":

$(p_1 + p_2) \cdot 6 = 1$

Подставим выражения для производительностей через время:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 6 = 1$

Разделив обе части на 6, получим:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Согласно второму условию, сначала одна машина выполняет половину работы (объем работы равен $\frac{1}{2}$), а затем другая машина выполняет оставшуюся половину. Общее время работы составляет 12,5 минут.

Время, которое первая машина тратит на выполнение половины работы, равно $\frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/2}{p_1} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$.

Аналогично, время, которое вторая машина тратит на выполнение своей половины работы, равно $\frac{1/2}{p_2} = \frac{1/2}{1/t_2} = \frac{t_2}{2}$.

Суммарное время равно 12,5 минут. Составляем второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 12,5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$t_1 + t_2 = 25$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \\ t_1 + t_2 = 25 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $t_2$ через $t_1$:

$t_2 = 25 - t_1$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{25 - t_1} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_1(25 - t_1)$:

$\frac{(25 - t_1) + t_1}{t_1(25 - t_1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{25}{25t_1 - t_1^2} = \frac{1}{6}$

Используя основное свойство пропорции ("крест-накрест"), получаем:

$1 \cdot (25t_1 - t_1^2) = 25 \cdot 6$

$25t_1 - t_1^2 = 150$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_1^2 - 25t_1 + 150 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 - 600 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$t_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$t_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для времени работы первой машины. Теперь найдем соответствующие значения для $t_2$, используя уравнение $t_2 = 25 - t_1$:

1. Если $t_1 = 15$ минут, то $t_2 = 25 - 15 = 10$ минут.

2. Если $t_1 = 10$ минут, то $t_2 = 25 - 10 = 15$ минут.

Оба решения указывают на то, что одна из машин выполняет всю работу за 10 минут, а другая – за 15 минут.

Ответ: одна копировальная машина может снять ксерокопию с рукописи за 10 минут, а другая – за 15 минут.

832. При каких значениях m и b пара (m; 3) является решением системы уравнений

$\left\{\begin{array}{l}-3x+y=9\\ 2x-by=-10\end{array}\right.$

(m; 3) - решение системы уравнений

$\left\{\begin{array}{l}-3m+3=9\\ 2m-3b=-10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-3m=6\\ 2m-3b=-10\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ 2·\left(-2\right)-3b=-10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ -4-3b=-10\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ 3b=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ b=2\end{array}\right.$

Ответ: при m=-2; при b=2

По условию, пара $(m; 3)$ является решением системы уравнений. Это означает, что при подстановке $x = m$ и $y = 3$ в оба уравнения системы, мы должны получить верные числовые равенства.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} -3x + y = 9, \\ 2x - by = -10. \end{cases} $$

Сначала подставим $x = m$ и $y = 3$ в первое уравнение, чтобы найти значение $m$: $$ -3(m) + 3 = 9 $$ $$ -3m = 9 - 3 $$ $$ -3m = 6 $$ $$ m = \frac{6}{-3} $$ $$ m = -2 $$

Теперь, зная значение $m$, мы можем найти $b$. Подставим $x = m = -2$ и $y = 3$ во второе уравнение системы: $$ 2(x) - b(y) = -10 $$ $$ 2(-2) - b(3) = -10 $$ $$ -4 - 3b = -10 $$ Перенесем $-4$ в правую часть уравнения: $$ -3b = -10 + 4 $$ $$ -3b = -6 $$ $$ b = \frac{-6}{-3} $$ $$ b = 2 $$

Таким образом, для того чтобы пара $(m; 3)$ была решением системы, значения параметров должны быть $m = -2$ и $b = 2$.

Ответ: $m = -2$, $b = 2$.

833. Сколько решений имеет система уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{c}3x-6y=5\\ 2x+3y=7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}6y=3x-5\\ 3y=7-2x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}y=\frac{3x-5}{6}\\ y=\frac{7-2x}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x}{2}-\frac{5}{6}\\ y=-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=\frac{1}{2}k\_1\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$; $k_2=-\frac{2}{3}k\_2\; =\; -\backslash frac\{2\}\{3\}$; $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются

Ответ: одно решение

б) $\left\{\begin{array}{c}4x-3y=12\\ \frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3y=4x-12\\ \frac{1}{4}y=\frac{1}{3}x-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}y=\frac{4x-12}{3}\\ y=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}x-1}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x-4\\ y=\frac{4}{3}x-4\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=k_2=\frac{4}{3}k\_1\; =\; k\_2\; =\; \backslash frac\{4\}\{3\}$; $b_1=b_2=-4b\_1\; =\; b\_2\; =\; -4$, то прямые совпадают

Ответ: бесконечное множество решений

в) $\left\{\begin{array}{l}0,5x+2y=0,8 /·\left(5\right)\\ 2,5x+10y=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2,5x+10y=4\\ 2,5x+10y=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}10y=4-2,5x\\ 10y=6-2,5x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=0,4-0,25x\\ y=0,6-0,25x\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=k_2=-0,25k\_1\; =\; k\_2\; =\; -0,25$; $b_1=0,4b\_1\; =\; 0,4$; $b_2=0,6b\_2\; =\; 0,6$; $b_1\mathrm{\ne }{b}_{2}b\_1\; \backslash neq\; b\_2$, то прямые параллельны

Ответ: нет решений

г) $\left\{\begin{array}{l}2x-0,3y=1 /·2\\ 4x+0,6y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}4x-0,6y=2\\ 4x+0,6y=1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}0,6y=4x-2\\ 0,6y=1-4x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}y=\frac{4x-2}{0,6}\\ y=\frac{1-4x}{0,6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{40}{6}x-\frac{20}{6}\\ y=\frac{10}{6}-\frac{40}{6}x\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=\frac{40}{6}k\_1\; =\; \backslash frac\{40\}\{6\}$, $k_2=-\frac{40}{6}k\_2\; =\; -\backslash frac\{40\}\{6\}$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются

Ответ: одно решение

а) $ \begin{cases} 3x - 6y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $

Для определения количества решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ сравним отношения коэффициентов при переменных.

В данном случае $a_1 = 3, b_1 = -6$ и $a_2 = 2, b_2 = 3$.

Найдем отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2} $.

Найдем отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-6}{3} = -2 $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ (так как $ \frac{3}{2} \neq -2 $), прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно единственное решение.

Ответ: одно решение.

б) $ \begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}y = 1 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

$ 12 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}y) = 12 \cdot 1 $

$ 4x - 3y = 12 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ 4x - 3y = 12 \end{cases} $

Оба уравнения в системе идентичны. Это означает, что графики уравнений совпадают. Можно также проверить это через отношения коэффициентов: $a_1=4, b_1=-3, c_1=12$ и $a_2=\frac{1}{3}, b_2=-\frac{1}{4}, c_2=1$.

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{1/3} = 12 $, $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1/4} = 12 $, $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{12}{1} = 12 $.

Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

в) $ \begin{cases} 0,5x + 2y = 0,8 \\ 2,5x + 10y = 6 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов.

$a_1 = 0,5, b_1 = 2, c_1 = 0,8$

$a_2 = 2,5, b_2 = 10, c_2 = 6$

Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{0,5}{2,5} = \frac{1}{5} $.

Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.

Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{0,8}{6} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15} $.

Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ ($ \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \neq \frac{2}{15} $), графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не совпадают. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) $ \begin{cases} 2x - 0,3y = 1 \\ 4x + 0,6y = 1 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов.

$a_1 = 2, b_1 = -0,3$ и $a_2 = 4, b_2 = 0,6$.

Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-0,3}{0,6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ (так как $ \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2} $), прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно единственное решение.

Ответ: одно решение.

834. Укажите какие-либо значения а, b и с, при которых система уравнений имеет единственное решение.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-8x+9y=10\\ ax+by=c\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}9y=10+8x\\ by=c-ax\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=\frac{10+8x}{9}\\ y=\frac{c-ax}{b}\end{array}\right. \\ {k}_1=\frac{8}{9}; b_1=\frac{10}{9} \\ a=10; b=8; c=9 \\ {k}_2=\frac{10}{8}; b_2=\frac{9}{8} \end{gathered}$$

$k_1\ne k_2$ Значит система имеет единственное решение

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида

$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $

имеет единственное решение тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих переменных не пропорциональны. Это условие можно записать в виде неравенства:

$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $

Геометрически это означает, что графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке, то есть их угловые коэффициенты различны.

Рассмотрим данную систему:

$ \begin{cases} -8x + 9y = 10 \\ ax + by = c \end{cases} $

Здесь коэффициенты первого уравнения: $A_1 = -8$, $B_1 = 9$. Коэффициенты второго уравнения: $A_2 = a$, $B_2 = b$.

Применим условие единственности решения к нашей системе:

$ \frac{-8}{a} \neq \frac{9}{b} $

Чтобы найти подходящие значения $a$ и $b$, преобразуем это неравенство. Предполагая, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$, мы можем использовать правило пропорции:

$ -8 \cdot b \neq 9 \cdot a $

Перенесем слагаемые в одну часть:

$ 9a + 8b \neq 0 $

Это и есть условие, которому должны удовлетворять коэффициенты $a$ и $b$. Если это условие выполнено, то система будет иметь единственное решение при любом значении коэффициента $c$.

Задача состоит в том, чтобы указать любые такие значения. Выберем наиболее простые.

Например, пусть $a = 1$ и $b = 1$.

Проверим выполнение условия $9a + 8b \neq 0$:

$ 9(1) + 8(1) = 9 + 8 = 17 $

Поскольку $17 \neq 0$, данная пара значений $a$ и $b$ подходит.

Коэффициент $c$ может быть любым числом. Для примера возьмем $c = 0$.

Таким образом, при $a = 1$, $b = 1$ и $c = 0$ исходная система уравнений будет иметь единственное решение.

Ответ: Например, $a = 1$, $b = 1$, $c = 0$.

835. При каком значении с система уравнений

а) имеет бесконечное множество решений;

б) не имеет решений?

a) $\left\{\begin{array}{l}5x-2y=3 /·2\\ 10x-4y=с\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}10x-4y=6\\ 10x-4y=c\end{array}\right.$

при c=6

б) при любом c≠6

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} 5x - 2y = 3 \\ 10x - 4y = c \end{cases} $$ Для анализа количества решений этой системы обратим внимание на коэффициенты при переменных $x$ и $y$. Коэффициенты во втором уравнении ($10$ и $-4$) ровно в два раза больше коэффициентов в первом уравнении ($5$ и $-2$).
$10 = 5 \cdot 2$
$-4 = (-2) \cdot 2$

Это наводит на мысль умножить обе части первого уравнения на 2, чтобы привести его к виду, сопоставимому со вторым уравнением:
$2 \cdot (5x - 2y) = 2 \cdot 3$
$10x - 4y = 6$

Теперь исходную систему можно переписать в эквивалентном виде: $$ \begin{cases} 10x - 4y = 6 \\ 10x - 4y = c \end{cases} $$ В этой системе левые части уравнений полностью совпадают. Количество решений теперь зависит от того, совпадают ли правые части.

а) имеет бесконечное множество решений

Система имеет бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда оба уравнения идентичны. Геометрически это означает, что графики уравнений (которые являются прямыми) совпадают.
Для того чтобы уравнения были идентичными, их правые части должны быть равны: $$ c = 6 $$ При $c=6$ система уравнений фактически сводится к одному уравнению $10x - 4y = 6$, решениями которого являются координаты всех точек, лежащих на этой прямой.
Ответ: при $c=6$.

б) не имеет решений

Система не имеет решений, если уравнения противоречат друг другу. В нашем случае это произойдет, если левые части уравнений равны ($10x - 4y$), а правые — не равны. Это приведет к противоречию, так как одно и то же выражение не может принимать два разных значения одновременно.
Условие для отсутствия решений: $$ c \neq 6 $$ Например, если $c=10$, мы получили бы $10x - 4y = 6$ и $10x - 4y = 10$, что невозможно. Геометрически это означает, что графики уравнений — это две параллельные, но не совпадающие прямые. Они никогда не пересекаются, следовательно, общих решений нет.
Ответ: при $c \neq 6$.

836. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки:

$y=kx+by=kx+b$ - линейная функция

a) (-1;3) и (2;-2)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-1·k+b=3 /·2\\ 2k+b=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2k+2b=6\\ 2k+b=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3b=4\\ -k+b=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}b=\frac{4}{3}\\ -k+\frac{4}{3}=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=1\frac{1}{3}\\ -k=3-\frac{4}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=1\frac{1}{3}\\ -k=\frac{5}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=1\frac{1}{3}\\ k=-1\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ y=-1\frac{2}{3}x+1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

б) (4;1) и (-3;-1)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}4k+b=1\\ -3k+b=-1 /·(-1)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}4k+b=1\\ 3k-b=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}7k=2\\ 3k-b=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{7}\\ 3·\frac{2}{7}-b=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{7}\\ b=\frac{6}{7}-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{7}\\ b=-\frac{1}{7}\end{array}\right. \\ y=\frac{2}{7}x-\frac{1}{7} \end{gathered}$$

в) (0;5) и (4;0)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}0k+b=5\\ 4k+b=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=5\\ 4k+5=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=5\\ 4k=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=5\\ k=-\frac{5}{4}\end{array}\right. \\ y=-\frac{5}{4}x+5 \end{gathered}$$

г) (-3;0) и (0;-6)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-3k+b=0\\ 0k+b=-6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ -3k-6=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ -3k=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ k=-2\end{array}\right. \\ y=-2x-6 \end{gathered}$$

а) Чтобы задать формулой линейную функцию, график которой проходит через две заданные точки, мы используем общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью $y$).
Подставим координаты точек $(-1; 3)$ и $(2; -2)$ в уравнение $y = kx + b$ и получим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} 3 = k \cdot (-1) + b \\ -2 = k \cdot 2 + b \end{cases}$
$\begin{cases} 3 = -k + b \\ -2 = 2k + b \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $k$:
$(-2) - 3 = (2k + b) - (-k + b)$
$-5 = 2k + k$
$-5 = 3k$
$k = -\frac{5}{3}$
Теперь подставим найденное значение $k$ в первое уравнение системы, чтобы найти $b$:
$3 = -(-\frac{5}{3}) + b$
$3 = \frac{5}{3} + b$
$b = 3 - \frac{5}{3} = \frac{9}{3} - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$
Таким образом, искомая формула линейной функции: $y = -\frac{5}{3}x + \frac{4}{3}$.
Ответ: $y = -\frac{5}{3}x + \frac{4}{3}$

б) Аналогично, используем точки $(4; 1)$ и $(-3; -1)$ и уравнение $y = kx + b$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 1 = k \cdot 4 + b \\ -1 = k \cdot (-3) + b \end{cases}$
$\begin{cases} 1 = 4k + b \\ -1 = -3k + b \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$1 - (-1) = (4k + b) - (-3k + b)$
$2 = 4k + 3k$
$2 = 7k$
$k = \frac{2}{7}$
Подставим значение $k$ в первое уравнение:
$1 = 4 \cdot (\frac{2}{7}) + b$
$1 = \frac{8}{7} + b$
$b = 1 - \frac{8}{7} = \frac{7}{7} - \frac{8}{7} = -\frac{1}{7}$
Искомая формула: $y = \frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$.
Ответ: $y = \frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$

в) Используем точки $(0; 5)$ и $(4; 0)$.
Общий вид уравнения: $y = kx + b$.
Точка $(0; 5)$ показывает пересечение с осью $y$. Это значит, что при $x=0$, $y=5$. Подставив эти значения в общее уравнение, сразу находим $b$:
$5 = k \cdot 0 + b$
$b = 5$
Теперь уравнение имеет вид $y = kx + 5$. Чтобы найти $k$, подставим в него координаты второй точки $(4; 0)$:
$0 = k \cdot 4 + 5$
$4k = -5$
$k = -\frac{5}{4}$
Искомая формула: $y = -\frac{5}{4}x + 5$.
Ответ: $y = -\frac{5}{4}x + 5$

г) Используем точки $(-3; 0)$ и $(0; -6)$.
Общий вид уравнения: $y = kx + b$.
Точка $(0; -6)$ является точкой пересечения с осью $y$, поэтому мы можем сразу определить $b$:
$-6 = k \cdot 0 + b$
$b = -6$
Уравнение принимает вид $y = kx - 6$. Теперь подставим координаты второй точки $(-3; 0)$ для нахождения $k$:
$0 = k \cdot (-3) - 6$
$0 = -3k - 6$
$3k = -6$
$k = -2$
Искомая формула: $y = -2x - 6$.
Ответ: $y = -2x - 6$

837. График какой линейной функции проходит через точку (–2; 5) и точку пересечения прямых

3x – 2у = 16 и 4x + 3у = –7?

$y=kx+b;$ (-2;5)

$-2k+b=5-2k+b=5$ (1)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{cc}3x-2y=16& \mathrm{/}·3\\ 4x+3y=-7& \mathrm{/}·2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}9x-6y=48\\ 8x+6y=-14\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}17x=34\\ 3x-2y=16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 3·2-2y=16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 6-2y=16\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2y=6-16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2y=-10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-5\end{array}\right. \left(2;-5\right) \\ 2k+b=-5 \left(2\right) \end{gathered}$$

Составим систему уравнений (1) и (2)

$\left\{\begin{array}{c}-2k+b=5\\ 2k+b=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2b=0\\ 2k+b=-5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}b=0\\ 2k=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=0\\ k=-2,5\end{array}\right.$

y=-2,5x

Чтобы найти уравнение искомой линейной функции, необходимо сначала определить координаты второй точки, через которую она проходит. Эта точка является точкой пересечения двух заданных прямых.

1. Нахождение точки пересечения прямых

Координаты точки пересечения прямых $3x - 2y = 16$ и $4x + 3y = -7$ являются решением системы уравнений:

$$\begin{cases} 3x - 2y = 16 \\ 4x + 3y = -7\end{cases}$$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на 2, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

$$\begin{cases} 3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot 16 \\ 2 \cdot (4x + 3y) = 2 \cdot (-7)\end{cases}$$

$$\begin{cases} 9x - 6y = 48 \\ 8x + 6y = -14\end{cases}$$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(9x - 6y) + (8x + 6y) = 48 + (-14)$

$17x = 34$

$x = \frac{34}{17} = 2$

Подставим найденное значение $x = 2$ в первое исходное уравнение ($3x - 2y = 16$) для нахождения y:

$3(2) - 2y = 16$

$6 - 2y = 16$

$-2y = 16 - 6$

$-2y = 10$

$y = \frac{10}{-2} = -5$

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты $(2; -5)$.

2. Нахождение уравнения линейной функции

Теперь нам нужно найти уравнение линейной функции вида $y = kx + b$, график которой проходит через две точки: A$(-2; 5)$ и B$(2; -5)$.

Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$, чтобы получить систему уравнений для нахождения коэффициентов k и b.

Для точки A$(-2; 5)$: $5 = k \cdot (-2) + b \implies -2k + b = 5$

Для точки B$(2; -5)$: $-5 = k \cdot 2 + b \implies 2k + b = -5$

Получаем систему:

$$\begin{cases} -2k + b = 5 \\ 2k + b = -5\end{cases}$$

Сложим два уравнения системы:

$(-2k + b) + (2k + b) = 5 + (-5)$

$2b = 0$

$b = 0$

Подставим $b = 0$ во второе уравнение системы ($2k + b = -5$):

$2k + 0 = -5$

$k = -\frac{5}{2} = -2.5$

Мы нашли коэффициенты: $k = -2.5$ и $b = 0$. Подставим их в уравнение линейной функции $y = kx + b$.

Искомое уравнение: $y = -2.5x + 0$ или $y = -2.5x$.

Ответ: $y = -2.5x$.