Номер 834, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 834, страница 184.

834. Укажите какие-либо значения а, b и с, при которых система уравнений имеет единственное решение.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-8x+9y=10\\ ax+by=c\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}9y=10+8x\\ by=c-ax\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=\frac{10+8x}{9}\\ y=\frac{c-ax}{b}\end{array}\right. \\ {k}_1=\frac{8}{9}; b_1=\frac{10}{9} \\ a=10; b=8; c=9 \\ {k}_2=\frac{10}{8}; b_2=\frac{9}{8} \end{gathered}$$

$k_1\ne k_2$ Значит система имеет единственное решение

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида

$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $

имеет единственное решение тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих переменных не пропорциональны. Это условие можно записать в виде неравенства:

$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $

Геометрически это означает, что графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке, то есть их угловые коэффициенты различны.

Рассмотрим данную систему:

$ \begin{cases} -8x + 9y = 10 \\ ax + by = c \end{cases} $

Здесь коэффициенты первого уравнения: $A_1 = -8$, $B_1 = 9$. Коэффициенты второго уравнения: $A_2 = a$, $B_2 = b$.

Применим условие единственности решения к нашей системе:

$ \frac{-8}{a} \neq \frac{9}{b} $

Чтобы найти подходящие значения $a$ и $b$, преобразуем это неравенство. Предполагая, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$, мы можем использовать правило пропорции:

$ -8 \cdot b \neq 9 \cdot a $

Перенесем слагаемые в одну часть:

$ 9a + 8b \neq 0 $

Это и есть условие, которому должны удовлетворять коэффициенты $a$ и $b$. Если это условие выполнено, то система будет иметь единственное решение при любом значении коэффициента $c$.

Задача состоит в том, чтобы указать любые такие значения. Выберем наиболее простые.

Например, пусть $a = 1$ и $b = 1$.

Проверим выполнение условия $9a + 8b \neq 0$:

$ 9(1) + 8(1) = 9 + 8 = 17 $

Поскольку $17 \neq 0$, данная пара значений $a$ и $b$ подходит.

Коэффициент $c$ может быть любым числом. Для примера возьмем $c = 0$.

Таким образом, при $a = 1$, $b = 1$ и $c = 0$ исходная система уравнений будет иметь единственное решение.

Ответ: Например, $a = 1$, $b = 1$, $c = 0$.