Номер 840, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 840, страница 188.

840. Даны выражения

3a(a + 6) и (3a + 6)(a + 4).

Сравните их значения при a = –5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго.

$$\begin{gathered} \left(3a\left(a+6\right)\right)-\left(3a+6\right)\left(a+4\right)= \\ =\left(3a^2+18a\right)-\left(3a^2+12a+6a+24\right)= \\ =\left(3a^2+18a\right)-\left(3a^2+18a+24\right)= \\ =3a+18a-3a^2-18a-24=-24<0 \end{gathered}$$

Следовательно, при любом a значение первого выражения меньше значения второго.

при а=-5; $3·(-5)·(-5+6)=-15·1=-15$

$$\begin{gathered} \left(3·\left(-5\right)+6\right)\left(-5+4\right)=\left(15+6\right)\left(-1\right)= \\ =-9·\left(-1\right)=9; -15<9 \end{gathered}$$

при а=0; $3·0·(0+6)=0$

$$\begin{gathered} \left(3·0+6\right)\left(0+4\right)=6·4=24 \\ 0<24 \end{gathered}$$

при а=40; $3·40·(40+6)=120·46=5520$

$$\begin{gathered} \left(3·40+6\right)\left(40+4\right)=126·44=5544 \\ 5520<5544 \end{gathered}$$

Даны два выражения: $3a(a + 6)$ и $(3a + 6)(a + 4)$.

Для удобства дальнейших вычислений и доказательства, упростим оба выражения, раскрыв скобки.

Первое выражение: $3a(a + 6) = 3a \cdot a + 3a \cdot 6 = 3a^2 + 18a$.

Второе выражение: $(3a + 6)(a + 4) = 3a \cdot a + 3a \cdot 4 + 6 \cdot a + 6 \cdot 4 = 3a^2 + 12a + 6a + 24 = 3a^2 + 18a + 24$.

Сравните их значения при $a = -5; 0; 40$.

Подставим заданные значения $a$ в упрощенные выражения.

1. При $a = -5$:

Значение первого выражения: $3(-5)^2 + 18(-5) = 3 \cdot 25 - 90 = 75 - 90 = -15$.

Значение второго выражения: $3(-5)^2 + 18(-5) + 24 = -15 + 24 = 9$.

Сравниваем: $-15 < 9$.

2. При $a = 0$:

Значение первого выражения: $3(0)^2 + 18(0) = 0 + 0 = 0$.

Значение второго выражения: $3(0)^2 + 18(0) + 24 = 0 + 0 + 24 = 24$.

Сравниваем: $0 < 24$.

3. При $a = 40$:

Значение первого выражения: $3(40)^2 + 18(40) = 3 \cdot 1600 + 720 = 4800 + 720 = 5520$.

Значение второго выражения: $3(40)^2 + 18(40) + 24 = 5520 + 24 = 5544$.

Сравниваем: $5520 < 5544$.

Ответ: при $a = -5$ значения равны $-15$ и $9$ (первое меньше); при $a = 0$ значения равны $0$ и $24$ (первое меньше); при $a = 40$ значения равны $5520$ и $5544$ (первое меньше).

Докажите, что при любом a значение первого выражения меньше значения второго.

Чтобы доказать, что при любом $a$ значение выражения $3a(a + 6)$ меньше значения выражения $(3a + 6)(a + 4)$, нужно доказать истинность неравенства:

$3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)$

Используем упрощенные формы выражений:

$3a^2 + 18a < 3a^2 + 18a + 24$

Для доказательства найдем разность между вторым и первым выражениями:

$(3a^2 + 18a + 24) - (3a^2 + 18a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3a^2 + 18a + 24 - 3a^2 - 18a = (3a^2 - 3a^2) + (18a - 18a) + 24 = 0 + 0 + 24 = 24$

Разность значений двух выражений равна $24$. Поскольку $24$ — положительное число ($24 > 0$), это означает, что значение второго выражения всегда на $24$ больше значения первого. Это верно для любого значения переменной $a$.

Таким образом, неравенство $3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)$ выполняется при всех значениях $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: разность второго и первого выражений равна $(3a^2 + 18a + 24) - (3a^2 + 18a) = 24$. Так как разность является положительным числом, не зависящим от $a$, значение первого выражения всегда меньше значения второго.