Номер 844, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 844, страница 188.

844. Верно ли при любом х неравенство:

a) $4x\left(x+0,25\right)>\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)$

$$\begin{gathered} 4x\left(x+0,25\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)=4x^2+x- \\ -\left(4x^2-9\right)=4x^2+x-4x^2+9=x+9 \end{gathered}$$

Ответ: неверно

б) $\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)<25x^2+2$

$$\begin{gathered} \left(5x-1\right)\left(5x+1\right)-\left(25x^2+2\right)=25x^2-1-25x^2-2= \\ =-3<0 \end{gathered}$$

Ответ: верно

в) ${\left(3x+8\right)}^{\mathbf{2}}>3x\left(x+16\right)$

${\left(3x+8\right)}^2-3x\left(x+16\right)=9x^2+48x+64-3x^2-48x=$
$=6x^2+64>0$при любых значениях b

Ответ: верно

г) $\left(7+2x\right)\left(7-2x\right)<49-x\left(4x+1\right)$

$$\begin{gathered} \left(7+2x\right)\left(7-2x\right)-\left(49-x\left(4x+1\right)\right)=49-4x^2- \\ -\left(49-4x^2-x\right)=49-4x^2-49+4x^2+x=x \end{gathered}$$

Ответ: неверно

а) $4x(x + 0,25) > (2x + 3)(2x - 3)$

Чтобы проверить, верно ли неравенство при любом $x$, упростим обе его части. Раскроем скобки в левой части: $4x(x + 0,25) = 4x \cdot x + 4x \cdot 0,25 = 4x^2 + x$. В правой части применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$: $(2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$. Подставим упрощенные выражения обратно в неравенство: $4x^2 + x > 4x^2 - 9$ Вычтем $4x^2$ из обеих частей: $x > -9$ Это неравенство выполняется не для всех значений $x$. Например, при $x = -10$ оно неверно, так как $-10$ не больше $-9$.
Ответ: нет, неверно.

б) $(5x - 1)(5x + 1) < 25x^2 + 2$

Упростим левую часть по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(5x - 1)(5x + 1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$. Неравенство принимает вид: $25x^2 - 1 < 25x^2 + 2$ Вычтем из обеих частей $25x^2$: $-1 < 2$ Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $x$.
Ответ: да, верно.

в) $(3x + 8)^2 > 3x(x + 16)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(3x + 8)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 = 9x^2 + 48x + 64$. В правой части раскроем скобки: $3x(x + 16) = 3x^2 + 48x$. Получаем неравенство: $9x^2 + 48x + 64 > 3x^2 + 48x$ Вычтем из обеих частей $48x$: $9x^2 + 64 > 3x^2$ Перенесем $3x^2$ в левую часть: $9x^2 - 3x^2 + 64 > 0$, что дает $6x^2 + 64 > 0$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) при любом $x$. Значит, $6x^2$ также неотрицательно. Сумма неотрицательного числа ($6x^2$) и положительного числа (64) всегда будет положительной. Таким образом, неравенство $6x^2 + 64 > 0$ верно для любого значения $x$.
Ответ: да, верно.

г) $(7 + 2x)(7 - 2x) < 49 - x(4x + 1)$

Упростим обе части неравенства. В левой части используем формулу разности квадратов: $(7 + 2x)(7 - 2x) = 7^2 - (2x)^2 = 49 - 4x^2$. В правой части раскроем скобки: $49 - x(4x + 1) = 49 - 4x^2 - x$. Неравенство приобретает вид: $49 - 4x^2 < 49 - 4x^2 - x$ Прибавим к обеим частям $4x^2$: $49 < 49 - x$ Вычтем из обеих частей 49: $0 < -x$ Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $0 > x$, или $x < 0$. Это неравенство выполняется только для отрицательных значений $x$, а не для любого $x$. Например, при $x = 5$ оно неверно.
Ответ: нет, неверно.