Номер 849, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 849, страница 189.

849. Докажите неравенство:

a) $\frac{c^2+1}{2}>c$; $\frac{c^2+1}{2}-c=\frac{c^2+1-2c}{2}=\frac{{\left(c-1\right)}^2}{2}\ge 0$

б) $\frac{c}{c^2+1}\le \frac{1}{2}$;

$$\begin{gathered} \frac{c}{c^2+1}-\frac{1}{2}=\frac{2c-\left(c^2+1\right)}{2\left(c^2+1\right)}= \\ =\frac{2c-c^2-1}{2\left(c^2+1\right)}=\frac{-\left(c^2-2c+1\right)}{2\left(c^2+1\right)}=-\frac{{\left(c-1\right)}^2}{2\left(c^2+1\right)}\le 0 \end{gathered}$$

а) Для доказательства неравенства $\frac{c^2 + 1}{2} \ge c$ выполним равносильные преобразования.

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства сохранится:

$c^2 + 1 \ge 2c$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы сравнить выражение с нулем:

$c^2 - 2c + 1 \ge 0$

В левой части неравенства мы видим полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Свернем выражение по этой формуле:

$(c - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Следовательно, полученное неравенство верно для любого значения $c$.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $\frac{c^2 + 1}{2} \ge c$ также верно для любого действительного числа $c$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $\frac{c}{c^2 + 1} \le \frac{1}{2}$ рассмотрим знаменатель дроби в левой части.

Так как $c^2 \ge 0$ для любого действительного $c$, то $c^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель $c^2 + 1$ всегда положителен.

Мы можем умножить обе части неравенства на положительное выражение $2(c^2 + 1)$, не меняя знака неравенства:

$2(c^2 + 1) \cdot \frac{c}{c^2 + 1} \le 2(c^2 + 1) \cdot \frac{1}{2}$

Сократим дроби:

$2c \le c^2 + 1$

Перенесем $2c$ в правую часть неравенства:

$0 \le c^2 - 2c + 1$

Как и в предыдущем пункте, свернем правую часть по формуле квадрата разности:

$0 \le (c - 1)^2$

Это неравенство верно для любого действительного числа $c$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство $\frac{c}{c^2 + 1} \le \frac{1}{2}$ верно для любого $c$.

Ответ: Неравенство доказано.