Номер 851, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 851, страница 189.

851. Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении a:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{a}^2>2a-3 \\ {a}^2-\left(2a-3\right)=a^2-2a+3=a^2-2a+1+2= \\ ={\left(a-1\right)}^2+2>0 \end{gathered}$$

при любом значении a

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{a}^2+6>4a \\ {a}^2-4a+6=a^2-2·2a+2^2+2={\left(a-2\right)}^2+2>0 \end{gathered}$$

при любом значении a

$\mathbf{\text{в) }}4a-4<a^2$

$a^2-4a+4>0; {\left(a-2\right)}^2>0$ при любом значении a, кроме a=2. При a=2 значение ${\left(a-2\right)}^2=0$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}8a-70<a^2; a^2-8a+70>0 \\ {a}^2-8a+70=a^2-2·4a+70=a^2-2·4a+4^2+ \end{gathered}$$
$+54={\left(a-4\right)}^2+54>0$ при любом значении a

Ответ: в)

Чтобы определить, какое из предложенных неравенств не является верным при любом значении $a$, проанализируем каждое из них. Для этого мы преобразуем каждое неравенство к виду, где в одной части стоит квадратичный трехчлен, а в другой — ноль.

a) $a^2 > 2a - 3$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 - 2a + 3 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = a^2 - 2a + 3$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1 > 0$).

Найдем дискриминант ($D$) этого квадратного трехчлена по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), а ветви параболы направлены вверх, это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс и целиком расположена в верхней полуплоскости. Следовательно, значение трехчлена $a^2 - 2a + 3$ всегда положительно.

Таким образом, неравенство $a^2 > 2a - 3$ верно при любом значении $a$.

б) $a^2 + 6 > 4a$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 - 4a + 6 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = a^2 - 4a + 6$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($1 > 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, значение трехчлена $a^2 - 4a + 6$ всегда положительно.

Таким образом, неравенство $a^2 + 6 > 4a$ верно при любом значении $a$.

в) $4a - 4 < a^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $a^2$ был положительным:

$0 < a^2 - 4a + 4$

Выражение в правой части является полным квадратом разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

Неравенство принимает вид:

$(a - 2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$. Неравенство $(a - 2)^2 > 0$ выполняется для всех значений $a$, кроме того, при котором выражение равно нулю.

$(a - 2)^2 = 0$ при $a = 2$.

Если подставить $a=2$ в исходное неравенство, получим $4 \cdot 2 - 4 < 2^2$, что дает $8 - 4 < 4$, или $4 < 4$. Это ложное утверждение.

Следовательно, неравенство $4a - 4 < a^2$ не является верным при любом значении $a$, так как оно неверно при $a=2$.

г) $8a - 70 < a^2$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < a^2 - 8a + 70$

Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = a^2 - 8a + 70$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($1 > 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 70 = 64 - 280 = -216$

Поскольку $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, значение трехчлена $a^2 - 8a + 70$ всегда положительно.

Таким образом, неравенство $8a - 70 < a^2$ верно при любом значении $a$.

По результатам анализа, единственным неравенством, которое не выполняется для всех значений $a$, является неравенство под буквой в).

Ответ: в)