Номер 848, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 848, страница 189.

848. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.

Пусть $a>0a\; >\; 0$, $\frac{1}{a}\backslash frac\{1\}\{a\}$ - ему обратное. Докажем, что $a+\frac{1}{a}\ge 2$

$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{{\left(a-1\right)}^2}{a}\ge 0$ при a>0

Доказательство:

Пусть $x$ — любое положительное число, то есть $x > 0$. Число, ему обратное, равно $\frac{1}{x}$. Нам необходимо доказать, что сумма этих чисел не меньше 2.

Запишем доказываемое неравенство:

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

Поскольку по условию $x$ — положительное число ($x > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $x$, при этом знак неравенства не изменится:

$x \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) \geq 2 \cdot x$

$x^2 + 1 \geq 2x$

Перенесём все члены неравенства в левую часть:

$x^2 - 2x + 1 \geq 0$

В левой части мы получили формулу квадрата разности:

$(x - 1)^2 \geq 0$

Полученное неравенство верно для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю).

Поскольку все выполненные преобразования были равносильными (умножение на положительное число $x$ и перенос членов), то и исходное неравенство $x + \frac{1}{x} \geq 2$ является верным для любого положительного $x$.

Равенство $x + \frac{1}{x} = 2$ достигается только при условии $(x - 1)^2 = 0$, то есть при $x=1$. Для всех остальных положительных $x$ сумма будет строго больше 2.

Таким образом, мы доказали, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.

Ответ: утверждение доказано.