Номер 850, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 850, страница 189.

850. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:

а) a² – 6a + 14 > 0;

б) b² + 70 > 16b.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{a}^2-6a+14>0 \\ {a}^2-6a+14=a^2-2·3a+3^2+5={\left(a-3\right)}^2+5>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{b}^2+70>16b \\ {b}^2+70-16b=b^2-2·8b+8^2+6={\left(b-8\right)}^2+6>0 \end{gathered}$$

а)

Чтобы доказать неравенство $a^2 - 6a + 14 > 0$, необходимо в левой части выделить полный квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Рассмотрим выражение $a^2 - 6a$. Здесь $a^2$ — это квадрат первого члена, а $-6a$ — это удвоенное произведение первого члена на второй. То есть, $x = a$, а $-2xy = -6a$, откуда $-2ay = -6a$, что дает нам $y = 3$. Для полного квадрата нам не хватает квадрата второго члена, то есть $y^2 = 3^2 = 9$.

Преобразуем левую часть неравенства, представив число 14 как сумму $9 + 5$: $a^2 - 6a + 14 = (a^2 - 6a + 9) + 5$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a - 3)^2$. Таким образом, мы получаем: $(a - 3)^2 + 5$

Теперь проанализируем полученное выражение. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого значения $a$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 5, результат всегда будет строго положительным: $(a - 3)^2 + 5 \ge 0 + 5$ $(a - 3)^2 + 5 \ge 5$

Поскольку $5 > 0$, то и $(a - 3)^2 + 5 > 0$, что и доказывает исходное неравенство $a^2 - 6a + 14 > 0$.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Для доказательства неравенства $b^2 + 70 > 16b$ сначала перенесём все слагаемые в левую часть: $b^2 - 16b + 70 > 0$

Далее, как и в предыдущем пункте, выделим полный квадрат в левой части неравенства. Воспользуемся формулой $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В выражении $b^2 - 16b$ первый член $x = b$. Удвоенное произведение $-2xy$ равно $-16b$, следовательно $-2by = -16b$, откуда $y = 8$. Квадрат второго члена равен $y^2 = 8^2 = 64$.

Представим свободный член 70 как сумму $64 + 6$ и преобразуем левую часть неравенства: $b^2 - 16b + 70 = (b^2 - 16b + 64) + 6$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности $(b - 8)^2$. Таким образом, получаем: $(b - 8)^2 + 6$

Полученное выражение $(b - 8)^2 + 6$ всегда положительно. Квадрат любого действительного числа $(b - 8)^2$ всегда больше или равен нулю: $(b - 8)^2 \ge 0$. Прибавляя к неотрицательному числу положительное число 6, мы получаем сумму, которая всегда будет строго положительной: $(b - 8)^2 + 6 \ge 0 + 6$ $(b - 8)^2 + 6 \ge 6$

Так как $6 > 0$, то и $(b - 8)^2 + 6 > 0$. Это доказывает, что $b^2 - 16b + 70 > 0$, а значит и исходное неравенство $b^2 + 70 > 16b$ верно для любого значения $b$.

Ответ: Неравенство доказано.