номер 856, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

856. Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью 5 км/ч, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, а вторую половину пути — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию?

Примем путь от посёлка до станции за 1. Тогда $\frac{1}{5}\backslash frac\{1\}\{5\}$ч - время, которое потратил Коля на этот путь. Зная, что Миша первую половину пути шёл со скоростью 5+0,5=5,5(ч), а вторую половину пути - со скоростью 5-0,5=4,5(ч) найдём время, которое потратил Миша на путь от посёлка до станции -

$\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{5,5}+\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{4,5}=\frac{1}{11}+\frac{1}{9}=\frac{9+11}{99}=\frac{20}{99}\left(\text{ч}\right)$

Сравним время Коли и Миши.

Для этого составим разность:

$\frac{1}{5}-\frac{20}{99}=\frac{99-100}{5·99}=-\frac{1}{5·99}<0; \frac{1}{5}<\frac{20}{99}$

Значит, Коля потратил меньше времени.

Ответ: Коля

Чтобы определить, кто из одноклассников пришёл на станцию первым, необходимо сравнить время, которое каждый из них затратил на путь.

Введём переменную $S$ для обозначения всего расстояния от посёлка до станции в километрах.

Расчёт времени Коли

Коля шёл весь путь с постоянной скоростью $v_К = 5$ км/ч. Время, которое он затратил, вычисляется по формуле: $t_К = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{S}{v_К} = \frac{S}{5}$ часов.

Расчёт времени Миши

Путь Миши делится на две равные части, каждая длиной $\frac{S}{2}$ км.

Скорость на первой половине пути была на 0,5 км/ч больше скорости Коли: $v_{М1} = 5 + 0,5 = 5,5$ км/ч. Время на этом участке: $t_{М1} = \frac{S/2}{v_{М1}} = \frac{S/2}{5,5} = \frac{S}{11}$ часов.

Скорость на второй половине пути была на 0,5 км/ч меньше скорости Коли: $v_{М2} = 5 - 0,5 = 4,5$ км/ч. Время на этом участке: $t_{М2} = \frac{S/2}{v_{М2}} = \frac{S/2}{4,5} = \frac{S}{9}$ часов.

Общее время Миши в пути равно сумме времён на двух участках: $t_М = t_{М1} + t_{М2} = \frac{S}{11} + \frac{S}{9}$ часов.

Сравнение времени

Вычислим общее время Миши, приведя дроби к общему знаменателю: $t_М = \frac{9S}{99} + \frac{11S}{99} = \frac{20S}{99}$ часов.

Теперь сравним время Коли ($t_К = \frac{S}{5}$) и время Миши ($t_М = \frac{20S}{99}$). Поскольку расстояние $S$ одинаково для обоих и является положительным числом, нам достаточно сравнить дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{20}{99}$.

Приведём дроби к общему знаменателю $5 \times 99 = 495$: $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 99}{5 \cdot 99} = \frac{99}{495}$ $\frac{20}{99} = \frac{20 \cdot 5}{99 \cdot 5} = \frac{100}{495}$

Так как $\frac{99}{495} < \frac{100}{495}$, то и время Коли меньше времени Миши: $t_К < t_М$.

Это значит, что Коля затратил на путь меньше времени и, следовательно, пришёл на станцию первым.

Ответ: Коля пришёл на станцию первым.