Номер 858, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 858, страница 190.

858. Сократите дробь:

a) $\frac{x^2-10x+25}{35-7x}=\frac{{\left(x-5\right)}^2}{7\left(5-x\right)}=\frac{{\left(5-x\right)}^2}{7\left(5-x\right)}=\frac{5-x}{7}$

б) $\frac{4x^2-12x+9}{{\left(3-2x\right)}^2}=\frac{{\left(2x-3\right)}^2}{{\left(2x-3\right)}^2}=1$

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 10x + 25}{35 - 7x}$, нужно разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Числитель $x^2 - 10x + 25$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 5$. Таким образом, числитель равен $(x - 5)^2$.

2. В знаменателе $35 - 7x$ вынесем общий множитель 7 за скобки: $7(5 - x)$.

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x - 5)^2}{7(5 - x)}$

4. Заметим, что выражения $(x - 5)$ и $(5 - x)$ противоположны, то есть $(5 - x) = -(x - 5)$. Перепишем дробь, заменив знаменатель:

$\frac{(x - 5)^2}{-7(x - 5)}$

5. Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x - 5)$ (при условии $x \neq 5$):

$\frac{x - 5}{-7} = -\frac{x - 5}{7} = \frac{5 - x}{7}$

Ответ: $\frac{5 - x}{7}$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{4x^2 - 12x + 9}{(3 - 2x)^2}$, также разложим числитель на множители.

1. Числитель $4x^2 - 12x + 9$ является полным квадратом разности. Используем формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Здесь $a = 2x$ (т.к. $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$) и $b = 3$ (т.к. $b^2 = 3^2 = 9$). Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot (2x) \cdot 3 = -12x$, что совпадает с выражением в числителе. Значит, числитель равен $(2x - 3)^2$.

2. Запишем дробь в новом виде:

$\frac{(2x - 3)^2}{(3 - 2x)^2}$

3. Воспользуемся свойством $(a - b)^2 = (b - a)^2$. Это верно, так как $(a - b)^2 = ((-1)(b - a))^2 = (-1)^2(b - a)^2 = (b - a)^2$.

Следовательно, $(2x - 3)^2 = (3 - 2x)^2$.

4. Числитель и знаменатель дроби равны. Сокращаем дробь (при условии $3-2x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{3}{2}$):

$\frac{(3 - 2x)^2}{(3 - 2x)^2} = 1$

Ответ: 1.