Номер 855, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 855, страница 190.

855. К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.

$$\begin{gathered} 0+k; 1+k; 2+k; 3+k \\ \left(0+k\right)·\left(3+k\right)<\left(1+k\right)\left(2+k\right) \end{gathered}$$

Составим разность:

$$\begin{gathered} k\left(3+k\right)-\left(1+k\right)\left(2+k\right)=3k+k^2-\left(2+k+2k+k^2\right)= \\ =3k+k^2-2-3k-k^2=-2<0 \end{gathered}$$

Значит, произведение крайних членов последовательности меньше произведения её средних членов.

Согласно условию, к каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавляется одно и то же число $k$. В результате получаем новую последовательность чисел:

$0+k, \quad 1+k, \quad 2+k, \quad 3+k$

или, что то же самое:

$k, \quad k+1, \quad k+2, \quad k+3$

В этой последовательности крайними членами являются первое и последнее числа ($k$ и $k+3$), а средними членами — второе и третье ($k+1$ и $k+2$).

Найдем произведение крайних членов. Обозначим его $P_{крайних}$:

$P_{крайних} = k \cdot (k+3) = k^2 + 3k$

Теперь найдем произведение средних членов. Обозначим его $P_{средних}$:

$P_{средних} = (k+1) \cdot (k+2) = k^2 + 2k + k + 2 = k^2 + 3k + 2$

Для того чтобы сравнить эти два произведения, найдем их разность:

$P_{средних} - P_{крайних} = (k^2 + 3k + 2) - (k^2 + 3k) = k^2 + 3k + 2 - k^2 - 3k = 2$

Разность между произведением средних членов и произведением крайних членов является положительным числом (равна 2). Это означает, что произведение средних членов всегда больше произведения крайних членов, независимо от значения $k$.

Ответ: Произведение средних членов получившейся последовательности на 2 больше, чем произведение её крайних членов.