Номер 847, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 847, страница 189.

847. Докажите, что при a > 0 верно неравенство

$\frac{a+2}{a}-2\ge 2-\frac{a+2}{2}$ при a>0

$$\begin{gathered} \left(\frac{a+2}{a}-2\right)-\left(2-\frac{a+2}{2}\right)=\frac{a+2}{a}-2-2+\frac{a+2}{2}= \\ =\frac{2\left(a+2\right)+a\left(a+2\right)}{2a}-4=\frac{2a+4+a^2+2a}{2a}-4= \\ =\frac{a^2+4a+4}{2a}-4=\frac{{\left(a+2\right)}^2-8a}{2a}= \end{gathered}$$
$=\frac{a^2+4a+4-8a}{2a}=\frac{a^2-4a+4}{2a}=\frac{{\left(a-2\right)}^2}{2a}\ge 0$ при $a>0a\; >\; 0$

Для доказательства неравенства при $a > 0$ выполним равносильные преобразования. Перенесём все члены из правой части в левую:
$\frac{a+2}{a} - 2 - \left(2 - \frac{a+2}{2}\right) \ge 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\frac{a+2}{a} - 2 - 2 + \frac{a+2}{2} \ge 0$
$\frac{a+2}{a} + \frac{a+2}{2} - 4 \ge 0$
Приведём все слагаемые к общему знаменателю $2a$. Так как по условию $a > 0$, знаменатель $2a$ также положителен.
$\frac{2(a+2)}{2a} + \frac{a(a+2)}{2a} - \frac{4 \cdot 2a}{2a} \ge 0$
Запишем всё под одной дробной чертой:
$\frac{2(a+2) + a(a+2) - 8a}{2a} \ge 0$
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:
$\frac{2a + 4 + a^2 + 2a - 8a}{2a} \ge 0$
$\frac{a^2 - 4a + 4}{2a} \ge 0$
Числитель дроби представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$. Подставим это в неравенство:
$\frac{(a-2)^2}{2a} \ge 0$
Проанализируем полученное неравенство:
1. Числитель $(a-2)^2$ является квадратом действительного числа, следовательно, он всегда неотрицателен, то есть $(a-2)^2 \ge 0$ для любого $a$.
2. Знаменатель $2a$ является положительным числом, так как по условию $a > 0$.
Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, всегда будет неотрицательной. Таким образом, неравенство $\frac{(a-2)^2}{2a} \ge 0$ верно для всех $a > 0$.
Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.