Номер 841, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 841, страница 188.

841. Даны выражения

4b(b + 1) и (2b + 7)(2b – 8).

Сравните их значения при b = –3; –2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

при b=-3; $4b(b+1)=4·(-3) (-3+1)=-12·(-2)=24$

$$\begin{gathered} \left(2b+7\right)\left(2b-8\right)=\left(2·\left(-3\right)+7\right)·\left(2·\left(-3\right)-8\right)= \\ =\left(-6+7\right)·\left(-6-8\right)=1\left(-14\right)=-14 \\ 24>-14 \end{gathered}$$

при b=-2; $4b(b+1)=4·(-2) (-2+1)=-8 (-1) =8$

$$\begin{gathered} \left(2b+7\right)\left(2b-8\right)=\left(2\left(-2\right)+7\right)\left(2·\left(-2\right)-8\right)= \\ =\left(-4+7\right)·\left(-4-8\right)=3·\left(-12\right)=-36 \\ 8>-36 \end{gathered}$$

при b-10; $4b(b+1)=4·10·(10+1)=40·11=440$

$\left(2b+7\right)\left(2b-8\right)=\left(2·10+7\right)\left(2·10-8\right)=27·12=324$

440>324

$$\begin{gathered} \left(4b\left(b+1\right)\right)-\left(\left(2b+7\right)\left(2b-8\right)\right)= \\ =\left(4b^2+4b\right)-(4b^2-16b+14b-56)= \\ =\left(4b^2+4b\right)-\left(4b^2-2b-56\right)= \\ =4b^2+4b-4b^2+2b+56=6b+56 \end{gathered}$$

Утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго, нельзя, так как разность этих выражений зависит от переменной b

Сравните их значения при b = -3; -2; 10.

Для сравнения значений двух выражений, $4b(b + 1)$ и $(2b + 7)(2b - 8)$, подставим в них указанные значения $b$.

При $b = -3$:
Значение первого выражения: $4(-3)(-3 + 1) = -12 \cdot (-2) = 24$.
Значение второго выражения: $(2(-3) + 7)(2(-3) - 8) = (-6 + 7)(-6 - 8) = 1 \cdot (-14) = -14$.
Сравниваем: $24 > -14$. При $b = -3$ значение первого выражения больше.

При $b = -2$:
Значение первого выражения: $4(-2)(-2 + 1) = -8 \cdot (-1) = 8$.
Значение второго выражения: $(2(-2) + 7)(2(-2) - 8) = (-4 + 7)(-4 - 8) = 3 \cdot (-12) = -36$.
Сравниваем: $8 > -36$. При $b = -2$ значение первого выражения больше.

При $b = 10$:
Значение первого выражения: $4(10)(10 + 1) = 40 \cdot 11 = 440$.
Значение второго выражения: $(2(10) + 7)(2(10) - 8) = (20 + 7)(20 - 8) = 27 \cdot 12 = 324$.
Сравниваем: $440 > 324$. При $b = 10$ значение первого выражения больше.

Ответ: Во всех трех случаях ($b = -3$, $b = -2$, $b = 10$) значение первого выражения оказывается больше, чем значение второго.

Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

Чтобы ответить на этот вопрос, сравним выражения в общем виде. Для этого раскроем скобки в каждом выражении и упростим их.

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4b^2 + 4b$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = 4b^2 - 16b + 14b - 56 = 4b^2 - 2b - 56$.

Теперь сравним полученные многочлены. Утверждение, что первое выражение больше второго, можно записать в виде неравенства: $4b^2 + 4b > 4b^2 - 2b - 56$

Для решения неравенства перенесем все члены в левую часть: $(4b^2 + 4b) - (4b^2 - 2b - 56) > 0$
$4b^2 + 4b - 4b^2 + 2b + 56 > 0$
$6b + 56 > 0$

Решим полученное линейное неравенство относительно $b$: $6b > -56$
$b > -\frac{56}{6}$
$b > -\frac{28}{3}$
$b > -9\frac{1}{3}$

Как видим, неравенство выполняется не при любых значениях $b$, а только при $b > -9\frac{1}{3}$. Чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести один контрпример. Возьмем любое значение $b$, которое не удовлетворяет этому условию, например, $b = -10$.

При $b = -10$:
Первое выражение: $4(-10)(-10 + 1) = -40 \cdot (-9) = 360$.
Второе выражение: $(2(-10) + 7)(2(-10) - 8) = (-20 + 7)(-20 - 8) = (-13) \cdot (-28) = 364$.
В этом случае $360 < 364$, то есть значение первого выражения меньше значения второго.

Ответ: Нет, нельзя утверждать, что при любом значении $b$ значение первого выражения больше, чем значение второго. Это утверждение верно только при $b > -9\frac{1}{3}$.