Номер 846, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 846, страница 188.

846. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь ab где a и b — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?

1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь ab. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)

2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.

3) Проведите доказательство: один — для случая a ‹ b, а другой — для случая a > b.

4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

$a\in Na\; \backslash in\; N$, $b\in Nb\; \backslash in\; N$

Пусть a<b, например, $a=5a\; =\; 5$; $b=8$

$\frac{5}{8}$ - исходная дробь; $\frac{5+1}{8+1}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\backslash frac\{5+1\}\{8+1\}\; =\; \backslash frac\{6\}\{9\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$ - полученная дробь

Ответ: при a<b дробь увеличится

Пусть a>b, например, $a=8a\; =\; 8$, $b=5$

$\frac{8}{5}$ - исходная дробь; $\frac{8+1}{5+1}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\backslash frac\{8+1\}\{5+1\}\; =\; \backslash frac\{9\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}$ - полученная дробь

$\frac{8}{5}-\frac{3}{2}=\frac{16-15}{10}=\frac{1}{10}>0\backslash frac\{8\}\{5\}\; -\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{16-15\}\{10\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{10\}\; >\; 0$

Ответ: при a>b дробь уменьшится.

Вывод: если дробь правильная (a<b), то при увеличении ее числителя и знаменателя на 1, она увеличится; если дробь неправильная (a>b), то при увеличении ее числителя и знаменателя на 1, она уменьшится.

1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь $\frac{a}{b}$.

Рассмотрим два случая, предложенные в задании.

Случай 1: Числитель меньше знаменателя ($a < b$)

Возьмем правильную дробь, например, $\frac{2}{5}$. Прибавим к ее числителю и знаменателю 1:

$\frac{2+1}{5+1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Сравним исходную дробь $\frac{2}{5}$ и новую $\frac{1}{2}$. Для этого приведем их к общему знаменателю 10:

$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$; $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$

Так как $\frac{5}{10} > \frac{4}{10}$, то и $\frac{1}{2} > \frac{2}{5}$. Значение дроби увеличилось.

Еще один пример: $\frac{7}{10}$. Новая дробь: $\frac{7+1}{10+1} = \frac{8}{11}$.

Сравним $\frac{7}{10}$ и $\frac{8}{11}$. Общий знаменатель 110: $\frac{7}{10} = \frac{77}{110}$; $\frac{8}{11} = \frac{80}{110}$.

Так как $\frac{80}{110} > \frac{77}{110}$, то и $\frac{8}{11} > \frac{7}{10}$. Значение дроби снова увеличилось.

Случай 2: Числитель больше знаменателя ($a > b$)

Возьмем неправильную дробь, например, $\frac{5}{3}$. Прибавим к ее числителю и знаменателю 1:

$\frac{5+1}{3+1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Сравним исходную дробь $\frac{5}{3}$ и новую $\frac{3}{2}$. Для этого приведем их к общему знаменателю 6:

$\frac{5}{3} = \frac{10}{6}$; $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$

Так как $\frac{9}{6} < \frac{10}{6}$, то и $\frac{3}{2} < \frac{5}{3}$. Значение дроби уменьшилось.

Еще один пример: $\frac{9}{2}$. Новая дробь: $\frac{9+1}{2+1} = \frac{10}{3}$.

Сравним $\frac{9}{2}$ и $\frac{10}{3}$. Общий знаменатель 6: $\frac{9}{2} = \frac{27}{6}$; $\frac{10}{3} = \frac{20}{6}$.

Так как $\frac{20}{6} < \frac{27}{6}$, то и $\frac{10}{3} < \frac{9}{2}$. Значение дроби снова уменьшилось.

Ответ: На примерах видно, что если числитель меньше знаменателя ($a<b$), то прибавление 1 к числителю и знаменателю увеличивает дробь. Если числитель больше знаменателя ($a>b$), то такая операция уменьшает дробь.

2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.

На основе наблюдений из пункта 1 можно сформулировать следующие гипотезы:

• Гипотеза для случая $a < b$: Если к числителю и знаменателю правильной дроби ($a<b$) прибавить 1, то значение дроби увеличится.
• Гипотеза для случая $a > b$: Если к числителю и знаменателю неправильной дроби ($a>b$) прибавить 1, то значение дроби уменьшится.

Ответ: Если $a < b$, гипотеза состоит в том, что дробь увеличится. Если $a > b$, гипотеза состоит в том, что дробь уменьшится.

3) Проведите доказательство: один — для случая $a < b$, а другой — для случая $a > b$.

Для доказательства гипотез нужно сравнить исходную дробь $\frac{a}{b}$ с новой дробью $\frac{a+1}{b+1}$. Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то знаменатели $b$ и $b+1$ положительны. В этом случае для сравнения дробей можно использовать правило перекрестного умножения: сравнить произведения $a(b+1)$ и $b(a+1)$.

Раскроем скобки в обоих выражениях:

$a(b+1) = ab + a$

$b(a+1) = ab + b$

Сравнение выражений $ab+a$ и $ab+b$ сводится к сравнению $a$ и $b$, так как слагаемое $ab$ у них общее.

Доказательство для случая $a < b$:

Если $a < b$, то и $ab+a < ab+b$.

Это означает, что $a(b+1) < b(a+1)$.

Поскольку $b(b+1) > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства:

$\frac{a(b+1)}{b(b+1)} < \frac{b(a+1)}{b(b+1)}$

Сократив дроби, получаем: $\frac{a}{b} < \frac{a+1}{b+1}$.

Это доказывает, что если числитель меньше знаменателя, то прибавление 1 к числителю и знаменателю увеличивает дробь.

Ответ: Для случая $a < b$ доказано, что дробь $\frac{a}{b}$ увеличится и станет равна $\frac{a+1}{b+1}$, так как $\frac{a}{b} < \frac{a+1}{b+1}$.

Доказательство для случая $a > b$:

Если $a > b$, то и $ab+a > ab+b$.

Это означает, что $a(b+1) > b(a+1)$.

Разделим обе части неравенства на положительное выражение $b(b+1)$:

$\frac{a(b+1)}{b(b+1)} > \frac{b(a+1)}{b(b+1)}$

Сократив дроби, получаем: $\frac{a}{b} > \frac{a+1}{b+1}$.

Это доказывает, что если числитель больше знаменателя, то прибавление 1 к числителю и знаменателю уменьшает дробь.

Ответ: Для случая $a > b$ доказано, что дробь $\frac{a}{b}$ уменьшится и станет равна $\frac{a+1}{b+1}$, так как $\frac{a}{b} > \frac{a+1}{b+1}$.

4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

Проверка рассуждений показывает их корректность. Метод сравнения дробей через перекрестное умножение является допустимым, так как знаменатели дробей положительны. Сведение сравнения $a(b+1)$ и $b(a+1)$ к сравнению $a$ и $b$ выполнено верно. Выводы, сделанные для случаев $a < b$ и $a > b$, логически следуют из результатов сравнения. Таким образом, оба доказательства верны.

Ответ: Рассуждения и доказательства, приведенные в пункте 3, являются правильными.