Номер 828, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 828, страница 183.

828. Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней быстрее, чем один первый комбайн, и на 4 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?

Пусть х дней собирают хлопок с поля два хлопкоуборочных комбайна, тогда х+9 дней понадобится для уборки хлопка первому комбайну и х+4 дней - второму комбайну.

Примем всю работу за 1. Тогда $\frac{1}{x+9}\backslash frac\{1\}\{x+9\}$ - производительность (скорость) первого комбайна, $\frac{1}{x+4}\backslash frac\{1\}\{x+4\}$ - производительность (скорость) второго комбайна, а $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - их общая производительность (скорость).

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+9}+\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x} /·x\left(x+9\right)\left(x+4\right) \\ x\left(x+4\right)+x\left(x+9\right)=\left(x+9\right)\left(x+4\right) \\ {x}^2+4x+x^2+9x=x^2+4x+9x+36 \\ {x}^2=36 \end{gathered}$$

$x\pm 6; x=-6$ - не удовлетворяет условию задачи х>0

6+9=15 (дн.) понадобится первому комбайну

6+4=10 (дн.) понадобится второму комбайну

Ответ: 15 и 10 дней

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть вся работа по сбору хлопка с поля равна 1.

• Пусть $t_1$ — время в днях, за которое первый комбайн может собрать весь хлопок, работая в одиночку.

• Пусть $t_2$ — время в днях, за которое второй комбайн может собрать весь хлопок, работая в одиночку.

• Пусть $t_{12}$ — время в днях, за которое два комбайна соберут весь хлопок, работая вместе.

Производительность (скорость работы) каждого комбайна — это величина, обратная времени выполнения всей работы:

• Производительность первого комбайна: $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть поля в день).

• Производительность второго комбайна: $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть поля в день).

При совместной работе их производительности складываются: $P_{12} = P_1 + P_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$.

Время совместной работы равно: $t_{12} = \frac{1}{P_{12}} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$.

Решение

Теперь используем условия из задачи, чтобы составить уравнения:

1. Два комбайна вместе работают на 9 дней быстрее, чем один первый: $t_{12} = t_1 - 9$.

2. Два комбайна вместе работают на 4 дня быстрее, чем один второй: $t_{12} = t_2 - 4$.

Из этих двух уравнений выразим $t_1$ и $t_2$ через $t_{12}$:

$t_1 = t_{12} + 9$

$t_2 = t_{12} + 4$

Теперь подставим эти выражения в формулу для времени совместной работы. Для удобства обозначим $t_{12}$ как $x$.

$x = \frac{1}{\frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+4}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$x = \frac{1}{\frac{(x+4) + (x+9)}{(x+9)(x+4)}}$

Упростим выражение:

$x = \frac{(x+9)(x+4)}{2x + 13}$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на $(2x + 13)$:

$x(2x + 13) = (x+9)(x+4)$

$2x^2 + 13x = x^2 + 4x + 9x + 36$

$2x^2 + 13x = x^2 + 13x + 36$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x^2 + 13x - 13x - 36 = 0$

$x^2 - 36 = 0$

$x^2 = 36$

$x = \pm\sqrt{36}$

Получаем два корня: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$. Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, $x = 6$ дней.

Это означает, что время совместной работы двух комбайнов $t_{12} = 6$ дней.

Теперь найдем время работы для каждого комбайна в отдельности:

Время работы первого комбайна: $t_1 = x + 9 = 6 + 9 = 15$ дней.

Время работы второго комбайна: $t_2 = x + 4 = 6 + 4 = 10$ дней.

Проверка

Проверим, выполняются ли условия задачи с найденными значениями:

• Первый комбайн работает 15 дней, второй — 10 дней. Время совместной работы — 6 дней.

• Совместная работа (6 дней) на 9 дней быстрее, чем работа первого комбайна (15 дней): $15 - 6 = 9$. Верно.

• Совместная работа (6 дней) на 4 дня быстрее, чем работа второго комбайна (10 дней): $10 - 6 = 4$. Верно.

Все условия соблюдены, решение верное.

Ответ: первый комбайн может собрать весь хлопок за 15 дней, а второй комбайн — за 10 дней.