Номер 824, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 824, страница 183.

824. Бригада рабочих должна была за определённый срок изготовить 768 пылесосов. Первые 5 дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану?

Пусть x пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану, тора $\frac{768}{x}$ дней нужно, чтобы выполнить норму. По условию задачи бригада за 5 дней изготовила 5х пылесосов, и оставшиеся 844-5х пылесоса изготавливала в день по x+6 пылесоса. Поэтому 844 пылесоса изготовила за день до срока.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{768}{x}=5+\frac{844-5x}{x+6}+1 \\ \frac{768}{x}-\frac{844-5x}{x+6}=6 /·x(x+6) \\ 768\left(x+6\right)-\left(844-5x\right)x=6x\left(x+6\right) \\ 768x+4608-844x+5x^2=6x^2+36x \\ 4608-76x=6x^2-5x^2+36x \\ {x}^2+36x+76x-4608=0 \\ {x}^2+112x-4608=0 \\ {x}^2+2·56x-4608=0 \\ {D}_1=56^2-1\left(-4608\right)=3136+4608=7744 \\ x=\frac{-56\pm \sqrt{7744}}{1}; x=\frac{-56\pm 88}{1} \end{gathered}$$

$x_1=32; x_2=-144$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 32 пылесоса

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это плановая дневная норма производства пылесосов (количество пылесосов в день), а $t$ — запланированное количество дней для выполнения работы.

По первоначальному плану бригада должна была изготовить 768 пылесосов. Это можно выразить уравнением:

$x \cdot t = 768$

Из этого уравнения выразим плановое время $t$:

$t = \frac{768}{x}$

Теперь проанализируем фактическое выполнение работы. Первые 5 дней бригада работала с плановой производительностью $x$. Количество пылесосов, изготовленных за эти дни, равно $5x$.

После этого бригада стала изготовлять на 6 пылесосов в день больше, то есть их новая производительность составила $(x + 6)$ пылесосов в день.

Работа была завершена на 1 день раньше срока, то есть общее время работы составило $(t - 1)$ дней. Период работы с повышенной производительностью длился:

$(t - 1) - 5 = t - 6$ дней.

За это время было изготовлено $(t - 6)(x + 6)$ пылесосов.

Всего за $(t - 1)$ дней было изготовлено 844 пылесоса. Составим второе уравнение, суммируя объемы работы за два периода:

$5x + (t - 6)(x + 6) = 844$

Подставим в это уравнение выражение для $t$ из первого уравнения ($t = \frac{768}{x}$):

$5x + \left(\frac{768}{x} - 6\right)(x + 6) = 844$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$5x + \frac{768}{x} \cdot x + \frac{768}{x} \cdot 6 - 6 \cdot x - 6 \cdot 6 = 844$

$5x + 768 + \frac{4608}{x} - 6x - 36 = 844$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$-x + 732 + \frac{4608}{x} = 844$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать неизвестные:

$\frac{4608}{x} - x = 844 - 732$

$\frac{4608}{x} - x = 112$

Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x$, производительность, не может быть равна нулю):

$4608 - x^2 = 112x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 112x - 4608 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 112^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4608) = 12544 + 18432 = 30976$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{30976} = 176$

$x_1 = \frac{-112 + 176}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$x_2 = \frac{-112 - 176}{2} = \frac{-288}{2} = -144$

Поскольку $x$ обозначает количество пылесосов, производимых в день, это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -144$ не подходит по смыслу задачи.

Единственное верное решение — $x = 32$.

Ответ: 32 пылесоса.