Номер 683, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Уравнение с двумя переменными и его график. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 683, страница 160.

683. Найдите все целые решения уравнения:

а) xy = 2;

б) x² – y² = 3.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}xy=2 \\ y=\frac{2}{x} \\ x=-1; y=-2 \\ x=-2; y=-1 \\ x=1; y=2 \\ x=2; y=1 \end{gathered}$$

Ответ: (-1;-2), (-2;-1);

(1;2), (2;1)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2-y^2=3 \\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{1)}} \left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ x+y=-3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2x=-4\\ x-y=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ -2-y=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{) }\left\{\begin{array}{l}x-y=-3\\ x+y=-1\end{array}\right.\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \\ \left\{\begin{array}{l}2x=-4\\ x+y=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ -2+y=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x+y=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2x=4\\ x+y=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2+y=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ x+y=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}2x=4\\ x+y=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2+y=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: (-2;-1); (-2,1); (2;1); (2;-1)

а) $xy = 2$

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, они должны быть делителями числа 2. Целочисленные делители числа 2: $1, -1, 2, -2$.
Рассмотрим все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 2:
1) Если $x = 1$, то $1 \cdot y = 2$, откуда $y = 2$. Получаем решение $(1, 2)$.
2) Если $x = 2$, то $2 \cdot y = 2$, откуда $y = 1$. Получаем решение $(2, 1)$.
3) Если $x = -1$, то $(-1) \cdot y = 2$, откуда $y = -2$. Получаем решение $(-1, -2)$.
4) Если $x = -2$, то $(-2) \cdot y = 2$, откуда $y = -1$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$.

б) $x^2 - y^2 = 3$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - y)(x + y) = 3$.
Так как $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(x - y)$ и $(x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3, значит, они являются парой целочисленных делителей числа 3.
Делители числа 3: $1, -1, 3, -3$.
Рассмотрим все возможные системы уравнений, составленные из пар делителей:

1) $ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $
Сложив два уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x = 2$.
Подставив $x=2$ во второе уравнение, получим $2 + y = 3$, откуда $y = 1$.
Решение: $(2, 1)$.

2) $ \begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x = 2$.
Подставив $x=2$ во второе уравнение, получим $2 + y = 1$, откуда $y = -1$.
Решение: $(2, -1)$.

3) $ \begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = -3 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x = -2$.
Подставив $x=-2$ во второе уравнение, получим $-2 + y = -3$, откуда $y = -1$.
Решение: $(-2, -1)$.

4) $ \begin{cases} x - y = -3 \\ x + y = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x = -2$.
Подставив $x=-2$ во второе уравнение, получим $-2 + y = -1$, откуда $y = 1$.
Решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (-2, -1), (-2, 1)$.