Номер 686, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Уравнение с двумя переменными и его график. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 686, страница 160.

686. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-1}{6x^2}:\frac{x^2+x}{3}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)·3}{6x^2·\left(x^2+x\right)}= \\ =\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{2x^2·x\left(x+1\right)}=\frac{x-1}{2x^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{16n^2-1}{n^2-2n}:\frac{8n}{3n-6}=\frac{\left(4n-1\right)\left(4n+1\right)·\left(3n-6\right)}{n\left(n-2\right)·8n}= \\ =\frac{\left(4n-1\right)\left(4n+1\right)·3\left(n-2\right)}{n\left(n-2\right)·8n}=\frac{3\left(16n^2-1\right)}{8n^2}= \\ =\frac{48n^2-3}{8n^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-4}{y^2-xy}:\frac{5x-20}{x^2-xy}=\frac{\left(x-4\right)·\left(x^2-xy\right)}{y\left(y-x\right)·\left(5x-20\right)}= \\ =\frac{\left(x-4\right)·x\left(x-y\right)}{-y\left(x-y\right)·5\left(x-4\right)}=-\frac{x}{5y} \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем разложим числители и знаменатели на множители, чтобы сократить общие.

$ \frac{x^2 - 1}{6x^2} : \frac{x^2 + x}{3} = \frac{x^2 - 1}{6x^2} \cdot \frac{3}{x^2 + x} $

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем общий множитель в знаменателе второй дроби:

$ \frac{(x - 1)(x + 1)}{6x^2} \cdot \frac{3}{x(x + 1)} $

Теперь сократим общие множители $(x+1)$, а также числа 3 и 6:

$ \frac{(x - 1)\sout{(x + 1)}}{2 \cdot \sout{3} \cdot x^2} \cdot \frac{\sout{3}}{x\sout{(x + 1)}} = \frac{x - 1}{2x^2 \cdot x} = \frac{x - 1}{2x^3} $

Ответ: $ \frac{x - 1}{2x^3} $

б) Аналогично пункту а), заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим на множители.

$ \frac{16n^2 - 1}{n^2 - 2n} : \frac{8n}{3n - 6} = \frac{16n^2 - 1}{n^2 - 2n} \cdot \frac{3n - 6}{8n} $

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов, а в знаменателях и числителе второй дроби вынесем общие множители:

$ \frac{(4n - 1)(4n + 1)}{n(n - 2)} \cdot \frac{3(n - 2)}{8n} $

Сократим общий множитель $(n-2)$:

$ \frac{(4n - 1)(4n + 1)}{n\sout{(n - 2)}} \cdot \frac{3\sout{(n - 2)}}{8n} = \frac{3(4n - 1)(4n + 1)}{n \cdot 8n} = \frac{3(16n^2 - 1)}{8n^2} $

Ответ: $ \frac{3(16n^2 - 1)}{8n^2} $

в) Заменяем деление умножением на обратную дробь.

$ \frac{x - 4}{y^2 - xy} : \frac{5x - 20}{x^2 - xy} = \frac{x - 4}{y^2 - xy} \cdot \frac{x^2 - xy}{5x - 20} $

Вынесем общие множители в знаменателях и в числителе второй дроби:

$ \frac{x - 4}{y(y - x)} \cdot \frac{x(x - y)}{5(x - 4)} $

Заметим, что выражения $(y-x)$ и $(x-y)$ отличаются знаком, то есть $(y - x) = -(x - y)$. Вынесем минус за скобки в знаменателе первой дроби:

$ \frac{x - 4}{-y(x - y)} \cdot \frac{x(x - y)}{5(x - 4)} $

Теперь сократим общие множители $(x-4)$ и $(x-y)$:

$ \frac{\sout{x - 4}}{-y\sout{(x - y)}} \cdot \frac{x\sout{(x - y)}}{5\sout{(x - 4)}} = \frac{x}{-y \cdot 5} = -\frac{x}{5y} $

Ответ: $ -\frac{x}{5y} $