Номер 679, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Уравнение с двумя переменными и его график. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 679, страница 158.

679. Составьте уравнение, графиком которого является пара прямых, изображённых на рисунке 28.

a) x=1 или y=1

(x-1)(y-1)=0

б) x=-1 или y=x

(x+1)(x-y)=0

в) x=-2 или x=1

(x+2)(x-1)=0

г) y=-1 или y=2

(y+1)(y-2)=0

а)

На рисунке изображены две прямые: одна горизонтальная и одна вертикальная.

Первая прямая — горизонтальная, она проходит через все точки с ординатой $y = 2$. Уравнение этой прямой: $y = 2$, или в общем виде $y - 2 = 0$.

Вторая прямая — вертикальная, она проходит через все точки с абсциссой $x = 1$. Уравнение этой прямой: $x = 1$, или в общем виде $x - 1 = 0$.

График, который является объединением двух линий, заданных уравнениями $F_1(x, y) = 0$ и $F_2(x, y) = 0$, описывается уравнением $F_1(x, y) \cdot F_2(x, y) = 0$. Это wynikaет из того, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Следовательно, искомое уравнение, описывающее пару данных прямых, является произведением их уравнений: $(x - 1)(y - 2) = 0$.

Ответ: $(x - 1)(y - 2) = 0$.

б)

На рисунке изображены две прямые: одна вертикальная и одна наклонная.

Вертикальная прямая проходит через точку $(-2, 0)$ параллельно оси ординат. Уравнение этой прямой: $x = -2$, или в общем виде $x + 2 = 0$.

Наклонная прямая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. Её уравнение можно найти в виде $y = kx + b$.

Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения с осью $y$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$, следовательно, $b = 1$.

Угловой коэффициент $k$ можно найти по двум точкам $(x_1, y_1) = (-1, 0)$ и $(x_2, y_2) = (0, 1)$ по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 0}{0 - (-1)} = \frac{1}{1} = 1$.

Значит, уравнение наклонной прямой: $y = 1 \cdot x + 1$, или $y = x + 1$. В общем виде это уравнение можно записать как $y - x - 1 = 0$.

Общее уравнение для пары этих прямых является произведением их уравнений: $(x + 2)(y - x - 1) = 0$.

Ответ: $(x + 2)(y - x - 1) = 0$.

в)

На рисунке изображены две вертикальные прямые.

Первая вертикальная прямая проходит через точку $(-2, 0)$ параллельно оси ординат. Её уравнение: $x = -2$, или $x + 2 = 0$.

Вторая вертикальная прямая проходит через точку $(1, 0)$ параллельно оси ординат. Её уравнение: $x = 1$, или $x - 1 = 0$.

Общее уравнение для пары этих прямых является произведением их индивидуальных уравнений: $(x + 2)(x - 1) = 0$.

Это уравнение можно также представить в раскрытом виде: $x^2 + x - 2 = 0$.

Ответ: $(x + 2)(x - 1) = 0$.

г)

На рисунке изображены две горизонтальные прямые.

Первая горизонтальная прямая проходит через точку $(0, 2)$ параллельно оси абсцисс. Её уравнение: $y = 2$, или $y - 2 = 0$.

Вторая горизонтальная прямая проходит через точку $(0, -1)$ параллельно оси абсцисс. Её уравнение: $y = -1$, или $y + 1 = 0$.

Общее уравнение для пары этих прямых является произведением их индивидуальных уравнений: $(y - 2)(y + 1) = 0$.

Это уравнение можно также представить в раскрытом виде: $y^2 - y - 2 = 0$.

Ответ: $(y - 2)(y + 1) = 0$.