Номер 678, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Уравнение с двумя переменными и его график. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 678, страница 158.

678. На рис. 27 изображён график одного из следующих линейных уравнений: х – у = –7, х – у = 4, 2х + у = 6, х + у = 5. Укажите это уравнение.

Выберем на графике точки (3;0) и (0;6)

y=kx+b

$\left\{\begin{array}{l}k·3+b=0\\ k·0+b=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3k+6=0\\ b=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3k=-6\\ b=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6\end{array}\right.$

y=-2x+6

2x+y=6

Ответ: 2x+y=6

Для того чтобы определить, какое из предложенных уравнений соответствует графику, можно пойти двумя путями: составить уравнение прямой по точкам на графике или проверить, какому из уравнений удовлетворяют координаты точек с графика.

Способ 1: Проверка точек с графика

Найдем на графике координаты двух любых точек, через которые проходит прямая. Удобнее всего взять точки пересечения с осями координат.
1. Точка пересечения с осью $y$ (осью ординат). В этой точке $x=0$. Из графика видим, что при $x=0$, $y=6$. Получаем точку $A(0, 6)$.
2. Точка пересечения с осью $x$ (осью абсцисс). В этой точке $y=0$. Из графика видим, что при $y=0$, $x=3$. Получаем точку $B(3, 0)$.
Теперь поочередно подставим координаты этих точек в каждое из предложенных уравнений. Искомое уравнение должно выполняться для обеих точек.

• Проверяем уравнение $x - y = -7$.
  Для точки $A(0, 6)$: $0 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq -7$, это уравнение не подходит.
• Проверяем уравнение $x - y = 4$.
  Для точки $B(3, 0)$: $3 - 0 = 3$. Так как $3 \neq 4$, это уравнение не подходит.
• Проверяем уравнение $2x + y = 6$.
  Для точки $A(0, 6)$: $2 \cdot 0 + 6 = 0 + 6 = 6$. Равенство $6 = 6$ верно.
  Для точки $B(3, 0)$: $2 \cdot 3 + 0 = 6 + 0 = 6$. Равенство $6 = 6$ также верно.
  Так как координаты обеих точек удовлетворяют этому уравнению, оно является искомым.
• Проверяем уравнение $x + y = 5$.
  Для точки $A(0, 6)$: $0 + 6 = 6$. Так как $6 \neq 5$, это уравнение не подходит.

Способ 2: Составление уравнения прямой

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси $x$), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.
Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 6)$, следовательно, свободный член $b = 6$.
Угловой коэффициент $k$ можно найти, используя координаты двух точек, например, $A(0, 6)$ и $B(3, 0)$:$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 6}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = -2$.
Теперь подставим найденные значения $k=-2$ и $b=6$ в уравнение прямой:$y = -2x + 6$.
Преобразуем это уравнение к виду, в котором даны варианты ответов ( $ax + by = c$ ), перенеся слагаемое $-2x$ в левую часть уравнения:$2x + y = 6$.
Полученное уравнение совпадает с третьим вариантом в условии задачи.

Ответ: $2x + y = 6$