Номер 658, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 658, страница 153.

658. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

Пусть $xx$ км/ч - скорость лодки по озеру (собственная скорость лодки), тогда (x-2)км/ч - скорость лодки против течения реки. Найдем время, потраченное на движение по озеру и реке:

$t={\displaystyle \frac{6}{x-2}}t\; =\; \backslash frac\{6\}\{x-2\}$ ч - время, потраченное на движение по реке,

$t={\displaystyle \frac{15}{x}}t=\backslash frac\{15\}\{x\}$ ч - время, потраченное на движение по озеру.

Известно, что время, затраченное на путь по озеру на 1ч больше, чем на путь по реке. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{6}{x-2}+1=\frac{15}{x}\mathrm{/}·x\left(x-2\right) \\ 6x+x\left(x-2\right)=15\left(x-2\right) \\ 6x+x^2-2x=15x-30 \\ {x}^2+4x-15x+30=0 \\ {x}^2-11x+30=0 \\ D={\left(-11\right)}^2-4·1·30=121-120=1 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{1}}{2};x=\frac{11\pm 1}{2} \\ {x}_1=6;x_2=5 \end{gathered}$$

Если $x=6x=6$, то $6\left(6-2\right)=6·4=24\mathrm{\ne }06(6-2)\; =\; 6\; \backslash cdot\; 4\; =\; 24\; \backslash neq\; 0$,

если $x=5x=5$, то $x\left(x-2\right)=5·\left(5-2\right)=5·3=15\mathrm{\ne }0x(x-2)\; =\; 5\; \backslash cdot\; (5-2)\; =\; 5\; \backslash cdot\; 3\; =\; 15\; \backslash neq\; 0$

Ответ: 5км/ч или 6км/ч

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки. Скорость лодки при движении по озеру (в стоячей воде) равна ее собственной скорости, то есть $x$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки. Скорость течения дана и равна 2 км/ч.
Скорость против течения: $v_{против} = (x - 2)$ км/ч.
Для того чтобы лодка могла плыть против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Теперь выразим время, затраченное на каждый участок пути, используя формулу $t = \frac{S}{v}$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, $v$ — скорость.

Расстояние, пройденное против течения реки, составляет 6 км. Время, затраченное на этот путь:
$t_{река} = \frac{6}{x - 2}$ ч.

Расстояние, пройденное по озеру, составляет 15 км. Время, затраченное на этот путь:
$t_{озеро} = \frac{15}{x}$ ч.

По условию задачи, на путь по озеру было затрачено на 1 час больше, чем на путь по реке. Составим уравнение:
$t_{озеро} = t_{река} + 1$
$\frac{15}{x} = \frac{6}{x - 2} + 1$

Решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{15}{x} - \frac{6}{x - 2} - 1 = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)$:
$\frac{15(x - 2)}{x(x - 2)} - \frac{6x}{x(x - 2)} - \frac{x(x - 2)}{x(x - 2)} = 0$
$\frac{15(x - 2) - 6x - x(x - 2)}{x(x - 2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель не равен нулю при $x \ne 0$ и $x \ne 2$, что соответствует нашему условию $x > 2$. Приравняем числитель к нулю:
$15(x - 2) - 6x - x(x - 2) = 0$
$15x - 30 - 6x - x^2 + 2x = 0$
Приведем подобные члены:
$-x^2 + 11x - 30 = 0$
Умножим обе части на -1, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
$x^2 - 11x + 30 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Подбором находим корни:
$x_1 = 5$
$x_2 = 6$

Оба корня удовлетворяют условию $x > 2$. Проверим оба решения.
Если скорость лодки $x = 5$ км/ч, то время по реке составляет $t_{река} = \frac{6}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$ часа, а время по озеру $t_{озеро} = \frac{15}{5} = 3$ часа. Разница во времени $3 - 2 = 1$ час, что соответствует условию.
Если скорость лодки $x = 6$ км/ч, то время по реке составляет $t_{река} = \frac{6}{6 - 2} = \frac{6}{4} = 1.5$ часа, а время по озеру $t_{озеро} = \frac{15}{6} = 2.5$ часа. Разница во времени $2.5 - 1.5 = 1$ час, что также соответствует условию.

Таким образом, задача имеет два решения. Скорость лодки при движении по озеру может быть либо 5 км/ч, либо 6 км/ч.

Ответ: 5 км/ч или 6 км/ч.