Номер 664, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 664, страница 154.

664. Два 3D-принтера разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый 3D-принтер, если известно, что ему для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму 3D-принтеру?

Пусть x ч потребовалось второму 3D-принтеру, тогда (x+2)ч потребовалось первому 3D-принтеру для изготовления некоторого количества деталей. Примем всю работу за 1, тогра

${\displaystyle \frac{1}{x}}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - производительность (скорость) работы второго 3D принтера;

${\displaystyle \frac{1}{x+2}}\backslash frac\{1\}\{x+2\}$ - производительность (скорость) работы первого 3D-принтера;

${\displaystyle \frac{1}{2{\displaystyle \frac{55}{60}}}}\backslash frac\{1\}\{2\backslash frac\{55\}\{60\}\}$ - совместная производительность двух 3D-принтеров.

Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2{\displaystyle \frac{55}{60}}} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2{\displaystyle \frac{11}{12}}} \mathrm{/}·2\frac{11}{12}x\left(x+2\right) \\ 2\frac{11}{12}\left(x+2\right)+2\frac{11}{12}x=x\left(x+2\right) \\ 2\frac{11}{12}\left(x+2+x\right)=x\left(x+2\right) \\ \frac{35}{12}\left(2x+2\right)=x^2+2x \mathrm{/}·12 \\ 35\left(2x+2\right)=12\left(x^2+2x\right) \\ 12x^2+24x=70x+70 \\ 12x^2+24x-70x-70=0 \\ 12x^2-46x-70=0 \mathrm{/}:2 \\ 6x^2-23x-35=0 \\ D={\left(-23\right)}^2-4·6·\left(-35\right)=529+840=1369 \\ x=\frac{23\pm \sqrt{1369}}{12}; x=\frac{23\pm 37}{12} \end{gathered}$$

$x_1=5; x_2=-\frac{7}{6}$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

5+2=7(ч)

Ответ: за 7ч.

Примем весь объем работы по изготовлению деталей за 1 (единицу).

Пусть $t_1$ — это время (в часах), за которое первый 3D-принтер может изготовить все детали, работая в одиночку. Пусть $t_2$ — это время (в часах), за которое второй 3D-принтер может изготовить все детали, работая в одиночку.

Тогда производительность (мощность) первого принтера составляет $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час), а производительность второго принтера — $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в час).

Согласно условию, первому принтеру требуется на 2 часа больше, чем второму. Математически это выражается так:

$t_1 = t_2 + 2$

Из этого уравнения можно выразить время работы второго принтера через время работы первого: $t_2 = t_1 - 2$.

Вместе два принтера выполнили работу за 2 часа 55 минут. Необходимо перевести это время в часы для согласованности единиц измерения:

$2 \text{ ч } 55 \text{ мин} = 2 + \frac{55}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{11}{12} \text{ ч} = \frac{24}{12} + \frac{11}{12} = \frac{35}{12} \text{ ч}$.

При совместной работе производительности складываются. Общая производительность $P_{общ} = P_1 + P_2$. Время совместной работы $t_{совм}$ связано с общей производительностью формулой $t_{совм} = \frac{1}{P_{общ}}$.

Подставим известные значения:

$\frac{1}{t_{совм}} = P_1 + P_2$

$\frac{1}{\frac{35}{12}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

$\frac{12}{35} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

Теперь в это уравнение подставим выражение для $t_2$ ($t_2 = t_1 - 2$). Для удобства вычислений обозначим искомую величину $t_1$ как $x$:

$\frac{12}{35} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{12}{35} = \frac{(x-2) + x}{x(x-2)}$

$\frac{12}{35} = \frac{2x-2}{x^2-2x}$

Воспользуемся правилом пропорции (перекрестное умножение):

$12(x^2 - 2x) = 35(2x - 2)$

$12x^2 - 24x = 70x - 70$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$12x^2 - 24x - 70x + 70 = 0$

$12x^2 - 94x + 70 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$6x^2 - 47x + 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-47)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 35 = 2209 - 840 = 1369$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{1369} = 37$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{47 + 37}{2 \cdot 6} = \frac{84}{12} = 7$

$x_2 = \frac{47 - 37}{2 \cdot 6} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Мы получили два возможных значения для $t_1$. Проверим каждое из них:

1. Если $x = 7$, то $t_1 = 7$ часов. Тогда время второго принтера $t_2 = t_1 - 2 = 7 - 2 = 5$ часов. Оба значения времени положительны, что соответствует условию задачи.

2. Если $x = \frac{5}{6}$, то $t_1 = \frac{5}{6}$ часа. Тогда время второго принтера $t_2 = t_1 - 2 = \frac{5}{6} - 2 = -\frac{7}{6}$ часа. Время не может быть отрицательной величиной, поэтому этот корень является посторонним и не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, единственное верное решение — 7 часов.

Ответ: 7 часов.