Номер 670, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 670, страница 155.

670. Составьте квадратное уравнение, зная его корни:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} x_1=\frac{\sqrt{3}-1}{2}; x_2=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ -p=x_1+x_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{3}+1}{2}= \\ =\frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \\ p=-\sqrt{3} \\ q=x_1·x_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}·\frac{\sqrt{3}+1}{2}= \\ =\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{4}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\ {x}^2+px+q=0 \\ {x}^2-\sqrt{3}x+\frac{1}{2}=0\mathrm{/}·2 \\ 2x^2-2\sqrt{3}x+1=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x_1=2-\sqrt{3}; x_2=\frac{1}{2-\sqrt{3}} \\ -p=x_1+x_2=2-\sqrt{3}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2+1}{2-\sqrt{3}}= \\ =\frac{4-4\sqrt{3}+3+1}{2-\sqrt{3}}=\frac{8-4\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{4\left(2-\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{3}}=4 \\ p=-4 \\ q=x_1·x_2=\left(2-\sqrt{3}\right)·\frac{1}{2-\sqrt{3}}=1 \\ {x}^2+px+q=0 \\ {x}^2-4x+1=0 \end{gathered}$$

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Уравнение имеет вид $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$, где $(x_1 + x_2)$ — это сумма корней, а $(x_1 \cdot x_2)$ — их произведение.

а) Даны корни $x_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
1. Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
2. Найдем произведение корней. В числителе дроби используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{4} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 1^2}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
3. Подставим найденные значения суммы и произведения в общую формулу уравнения:
$x^2 - (\sqrt{3})x + \frac{1}{2} = 0$.
Чтобы избавиться от дроби в коэффициентах, умножим все уравнение на 2:
$2(x^2 - \sqrt{3}x + \frac{1}{2}) = 2 \cdot 0$
$2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$.
Ответ: $2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$.
1. Упростим второй корень, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2 + \sqrt{3})$:
$x_2 = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4-3} = 2 + \sqrt{3}$.
2. Теперь, когда известны оба корня ($x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$), найдем их сумму:
$x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
3. Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов:
$x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
4. Подставим найденные значения суммы (4) и произведения (1) в формулу квадратного уравнения:
$x^2 - 4x + 1 = 0$.
Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.