Номер 668, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 668, страница 155.

668. Найдите значение выражения:

a) ${\displaystyle \frac{xy}{x+y}}\backslash frac\{xy\}\{x+y\}$ при $x=5+2\sqrt{6}, y=5-2\sqrt{6}$,

$\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}{5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}}=\frac{25-{\left(2\sqrt{6}\right)}^2}{10}=\frac{25-24}{10}=0,1$

б) ${\displaystyle \frac{x^2+y^2}{xy}}\backslash frac\{x^2+y^2\}\{xy\}$ при $x=\sqrt{11}+\sqrt{3}, y=\sqrt{11}-\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)}^2}{\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)}= \\ =\frac{11+2\sqrt{11}\sqrt{3}+3+11-2\sqrt{11}\sqrt{3}+3}{11-3}= \\ =\frac{22+6}{8}=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}=3,5 \end{gathered}$$

а) Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$ при $x = 5+2\sqrt{6}$ и $y = 5-2\sqrt{6}$.

Для решения задачи сначала отдельно вычислим значения числителя ($xy$) и знаменателя ($x+y$).

Вычислим произведение $xy$, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:

$xy = (5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.

Вычислим сумму $x+y$:

$x+y = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) = 5+5+2\sqrt{6}-2\sqrt{6} = 10$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{10} = 0.1$.

Ответ: $0.1$.

б) Найдем значение выражения $\frac{x^2+y^2}{xy}$ при $x = \sqrt{11+\sqrt{3}}$ и $y = \sqrt{11-\sqrt{3}}$.

Для решения задачи вычислим значения $x^2$, $y^2$ и $xy$.

Найдем $x^2$ и $y^2$:

$x^2 = (\sqrt{11+\sqrt{3}})^2 = 11+\sqrt{3}$.

$y^2 = (\sqrt{11-\sqrt{3}})^2 = 11-\sqrt{3}$.

Теперь вычислим числитель дроби $x^2+y^2$:

$x^2+y^2 = (11+\sqrt{3}) + (11-\sqrt{3}) = 11+11+\sqrt{3}-\sqrt{3} = 22$.

Далее вычислим знаменатель дроби $xy$, используя свойство $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ и формулу разности квадратов:

$xy = \sqrt{11+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{11-\sqrt{3}} = \sqrt{(11+\sqrt{3})(11-\sqrt{3})} = \sqrt{11^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{121-3} = \sqrt{118}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{22}{\sqrt{118}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{118}$:

$\frac{22}{\sqrt{118}} = \frac{22 \cdot \sqrt{118}}{\sqrt{118} \cdot \sqrt{118}} = \frac{22\sqrt{118}}{118}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{22\sqrt{118}}{118} = \frac{11\sqrt{118}}{59}$.

Ответ: $\frac{11\sqrt{118}}{59}$.