Номер 2, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 2, страница 155.

2. На примере уравнения 6x² - 1 - 1 = 2x - 1 - 3x + 1 объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

$$\begin{gathered} \frac{6}{x^2-1}-1=\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1} \\ \frac{6}{(x-1)(x+1)}-1=\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1} \end{gathered}$$

Общий знаменатель дроби равен (х-1)(х+1). Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим

$$\begin{gathered} 6-(x-1)(x+1)=2(x+1)-3(x-1) \\ 6-(x^2-1)=2х+2-3х+3 \\ 6-x^2+1=5-х \\ -x^2+x+2=0 \\ D=1-4·(-1)·2=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-2}; x=\frac{-1\pm 3}{-2} \\ {x}_1=-1; x_2=2 \end{gathered}$$

Если х=-1, то (x-1)(x+1)=0,

если х=2, то (x-1)(x+1)≠0.

Значит, конем исходного уравнения является число 2.

Ответ: 2.

Дробно-рациональное уравнение – это уравнение, в котором левая и/или правая части являются дробными выражениями. Чтобы решить такое уравнение, необходимо выполнить последовательность шагов. Рассмотрим их на примере уравнения $\frac{6}{x^2 - 1} - 1 = \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$.

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ)

Основное ограничение в дробных уравнениях — знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому мы должны найти все значения переменной, при которых знаменатели обращаются в ноль, и исключить их из возможных решений.

В данном уравнении три знаменателя: $x^2 - 1$, $x - 1$ и $x + 1$.

• $x^2 - 1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
• $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
• $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x$ не может быть равен $1$ и $-1$.

2. Перенести все члены уравнения в одну сторону и привести к общему знаменателю

Перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки:

$\frac{6}{x^2 - 1} - 1 - \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = 0$

Теперь найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для этого разложим знаменатели на множители: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Видно, что НОЗ равен $(x-1)(x+1)$. Приведем все члены уравнения к этому знаменателю:

$\frac{6}{(x-1)(x+1)} - \frac{1 \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{2 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0$

3. Избавиться от знаменателя, приравняв числитель к нулю

Теперь, когда все члены имеют общий знаменатель, мы можем записать их как одну дробь:

$\frac{6 - (x^2 - 1) - 2(x+1) + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ. Поэтому мы можем приравнять числитель к нулю и решать полученное уравнение:

$6 - (x^2 - 1) - 2(x+1) + 3(x-1) = 0$

4. Решить полученное целое уравнение

Раскроем скобки и упростим выражение:

$6 - x^2 + 1 - 2x - 2 + 3x - 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + (-2x + 3x) + (6 + 1 - 2 - 3) = 0$

$-x^2 + x + 2 = 0$

Для удобства умножим обе части уравнения на $-1$:

$x^2 - x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

5. Проверить корни на соответствие ОДЗ и записать ответ

Мы получили два потенциальных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Сравним их с ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$):

• Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq -1$.
• Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ. Это посторонний корень, так как при $x = -1$ знаменатели $x^2-1$ и $x+1$ обращаются в ноль.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=2$.

Ответ: 2