Номер 665, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 665, страница 154.

665. Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью, на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что его средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч?

Пусть х км/ч - первоначальная скорость велосипедиста, тогда (х+5)км/ч - скорость, с которой он возвращался от станции до посёлка. Зная, что его средняя скорость на всём пути составляла 12км/ч, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x+5}}}=12 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{2}{12} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\mathrm{/}·6x\left(x+5\right) \\ 6\left(x+5\right)+6x=x\left(x+5\right) \\ 6x+30+6x=x^2+5x \\ 12x+30=x^2+5x \\ {x}^2+5x-12x-30=0 \\ {x}^2-7x-30=0 \\ A={\left(-7\right)}^2-4·1·\left(-30\right)=49+120=169 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{7\pm 13}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-3$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 10 км/ч

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста. Согласно условию, на обратном пути его скорость была на 5 км/ч больше, то есть составляла $v + 5$ км/ч.

Обозначим расстояние от посёлка до станции как $S$ км. Тогда весь путь, который проехал велосипедист, равен $S + S = 2S$ км.

Время, затраченное на поездку от посёлка до станции, равно $t_1 = \frac{S}{v}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь, равно $t_2 = \frac{S}{v + 5}$ ч.

Общее время, проведённое в пути, составляет $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v} + \frac{S}{v+5}$ ч.

Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени:
$v_{ср} = \frac{\text{весь путь}}{\text{всё время}} = \frac{2S}{\frac{S}{v} + \frac{S}{v+5}}$

В знаменателе можно вынести общий множитель $S$ за скобки и затем сократить дробь на $S$:
$v_{ср} = \frac{2S}{S(\frac{1}{v} + \frac{1}{v+5})} = \frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{v+5}}$

Теперь приведём дроби в знаменателе к общему знаменателю:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{v+5} = \frac{v+5+v}{v(v+5)} = \frac{2v+5}{v^2+5v}$

Подставим полученное выражение обратно в формулу для средней скорости:
$v_{ср} = \frac{2}{\frac{2v+5}{v^2+5v}} = \frac{2(v^2+5v)}{2v+5}$

По условию задачи, средняя скорость велосипедиста $v_{ср}$ равна 12 км/ч. Составим уравнение, подставив это значение:
$12 = \frac{2(v^2+5v)}{2v+5}$

Решим полученное уравнение. Умножим обе части на $(2v+5)$:
$12(2v+5) = 2v^2+10v$
$24v+60 = 2v^2+10v$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2v^2 + 10v - 24v - 60 = 0$
$2v^2 - 14v - 60 = 0$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:
$v^2 - 7v - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно -30. Эти числа — 10 и -3.
Таким образом, корни уравнения: $v_1 = 10$ и $v_2 = -3$.

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -3$ не имеет физического смысла и не является решением задачи.
Следовательно, первоначальная скорость велосипедиста была 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.