Номер 659, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 659, страница 154.

659. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения — 25 км. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?

Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда (15+x)км/ч - скорость по течению, (15-х)км/ч - скорость против течения. Найдем время, потраченное моторной лодкой на путь по течению и против течения:

$t_1={\displaystyle \frac{35}{15+x}}t\_1=\; \backslash frac\{35\}\{15+x\}$ ч – время, потраченное на путь по течению,

$t_2={\displaystyle \frac{25}{15-x}}t\_2=\; \backslash frac\{25\}\{15-x\}$ ч - время, потраченное на путь против течения.

Зная, что $t_1=t_{2}t\_1=t\_2$, составим и решим уравнении:

$$\begin{gathered} \frac{35}{15+x}=\frac{25}{15-x} \mathrm{/}·\left(15+x\right)·\left(15-x\right) \\ 35\left(15-x\right)=25\left(15+x\right) \\ 525-35x=375+25x \\ 525-375=25x+35x \\ 150=60x \\ x=150:60 \\ x=2,5 \end{gathered}$$

Ответ: 2,5 км/ч

Пусть искомая скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Скорость моторной лодки в стоячей воде (собственная скорость) равна $v_{собст} = 15$ км/ч.

Когда лодка движется по течению, её скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{собст} + x = (15 + x)$ км/ч.

Когда лодка движется против течения, её скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{собст} - x = (15 - x)$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Лодка прошла по течению 35 км. Время, затраченное на этот путь, составляет: $t_{по} = \frac{35}{15 + x}$ ч.

Лодка прошла против течения 25 км. Время, затраченное на этот путь, составляет: $t_{против} = \frac{25}{15 - x}$ ч.

Согласно условию задачи, время движения по течению равно времени движения против течения: $t_{по} = t_{против}$.

Составим уравнение, приравняв выражения для времени: $\frac{35}{15 + x} = \frac{25}{15 - x}$

Для решения этого уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $35 \cdot (15 - x) = 25 \cdot (15 + x)$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить вычисления: $7 \cdot (15 - x) = 5 \cdot (15 + x)$

Раскроем скобки: $105 - 7x = 75 + 5x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в правой части, а свободные члены — в левой: $105 - 75 = 5x + 7x$

$30 = 12x$

Теперь найдем $x$: $x = \frac{30}{12}$

Сократим дробь на 6: $x = \frac{5}{2} = 2,5$

Следовательно, скорость течения реки составляет 2,5 км/ч.

Ответ: 2,5 км/ч.