Номер 657, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 657, страница 153.

657. Сотрудники отдела решили совместно приобрести однокамерный холодильник за 14 400 р. Однако трое отказались участвовать в покупке, и остальным пришлось уплатить на 400 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников работает в отделе?

Пусть x сотрудников работает в отделе, тогда x-3 сотрудника купили холодильник. Зная, что холодильник стоит 14400р., можно узнать по сколько рублей уплати каждый сотрудник:

${\displaystyle \frac{14420}{x}}\backslash frac\{14420\}\{x\}$ р. - уплатил бы каждый, если бы все сотрудники участвовали в покупке,

${\displaystyle \frac{14400}{x-3}}\backslash frac\{14400\}\{x-3\}$ р. - реальная уплата каждым сотрудником.

Зная, что каждому пришлось уплатить на 400р. больше, чем предполагалась, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{14400}{x}+400=\frac{14400}{x-3} /·x\left(x-3\right) \\ 14400\left(x-3\right)+400x\left(x-3\right)=14400x \\ 14400x-43200+400x^2-1200x=14400x \\ 400x^2-1200x-43200=0/:400 \\ {x}^2-3x-108=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-108\right)=9+432=441 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{441}}{2}; x=\frac{3\pm 21}{2} \end{gathered}$$

$x_1=12; x_2=-9$ -не удовлетворяет условию задачи х>0

Ответ: 12 человек

Пусть $n$ — это общее количество сотрудников в отделе. Тогда первоначально каждый сотрудник должен был заплатить $\frac{14400}{n}$ рублей.

После того как трое сотрудников отказались участвовать, количество участников стало $n - 3$. Теперь каждому из оставшихся пришлось заплатить $\frac{14400}{n - 3}$ рублей.

По условию задачи, новая сумма на 400 рублей больше первоначальной. Составим уравнение:
$\frac{14400}{n - 3} - \frac{14400}{n} = 400$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 400:
$\frac{36}{n - 3} - \frac{36}{n} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $n(n - 3)$:
$\frac{36n - 36(n - 3)}{n(n - 3)} = 1$
$\frac{36n - 36n + 108}{n^2 - 3n} = 1$
$\frac{108}{n^2 - 3n} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение, приведя его к стандартному виду:
$n^2 - 3n = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-(-3) + 21}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$n_2 = \frac{-(-3) - 21}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку количество сотрудников не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -9$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, общее количество сотрудников в отделе равно 12.

Проверим решение:
Изначально 12 сотрудников должны были заплатить по $14400 \div 12 = 1200$ рублей.
После отказа троих, $12 - 3 = 9$ сотрудников заплатили по $14400 \div 9 = 1600$ рублей.
Разница составляет $1600 - 1200 = 400$ рублей, что соответствует условию задачи.

Ответ: 12 сотрудников.