Номер 650, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 650, страница 153.

650. Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.

Пусть х км/ч - скорость первого лыжника, тогда (х+2)км/ч - скорость второго лыжника. Зная, что расстояние, которое они проходили, 20км, можно найти время, за которое они преодолели данное расстояние:

$t_1={\displaystyle \frac{20}{x}}t\_1\; =\; \backslash frac\{20\}\{x\}$ч - время первого лыжника,

$t_2={\displaystyle \frac{20}{x+2}}t\_2\; =\; \backslash frac\{20\}\{x+2\}$ч - время второго лыжника.

Известно, что второй лыжник преодолел данное расстояние на 20мин быстрее, чем первый. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{20}{x}=\frac{20}{x+2}+\frac{20}{60} \\ \frac{20}{x}-\frac{20}{x+2}=\frac{1}{3} /·3x\left(x+2\right) \\ 20·3\left(x+2\right)-20·3x=x\left(x+2\right) \\ 60x+120-60x=x^2+2x \\ {x}^2+2x-120=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-120\right)=4+480=484 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{484}}{2}; x=\frac{-2\pm 22}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-12$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

10+2=12 (км/ч)

Ответ: 10км/ч; 12км/ч

Пусть скорость медленного лыжника равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость быстрого лыжника равна $(x + 2)$ км/ч.

Оба лыжника прошли расстояние $S = 20$ км.

Время, которое затратил на путь медленный лыжник, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{20}{x}$ часов.

Время, которое затратил на путь быстрый лыжник, составляет $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{20}{x+2}$ часов.

Из условия известно, что быстрый лыжник прошел дистанцию на 20 минут быстрее. Переведем разницу во времени в часы, так как скорость измеряется в км/ч:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Разница во времени движения лыжников составляет $\frac{1}{3}$ часа. Так как медленный лыжник был в пути дольше, мы можем составить следующее уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$

$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+2} = \frac{1}{3}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{20(x+2) - 20x}{x(x+2)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{20x + 40 - 20x}{x^2 + 2x} = \frac{1}{3}$

$\frac{40}{x^2 + 2x} = \frac{1}{3}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$1 \cdot (x^2 + 2x) = 40 \cdot 3$

$x^2 + 2x = 120$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не является решением задачи.

Таким образом, скорость медленного лыжника составляет 10 км/ч.

Скорость быстрого лыжника: $x + 2 = 10 + 2 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость одного лыжника 10 км/ч, скорость другого лыжника 12 км/ч.