Номер 656, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 656, страница 153.

656. Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало?

Пусть x человек обедали вместе, тогда x-2 человек оплачивали обед. Зная, что счёт за обед составил 175 шиллингов, можно узнать сколько шиллингов заплатит каждый:

$\frac{175}{x}$ шиллингов с человека, если бы обед оплачивали все,

${\displaystyle \frac{175}{x-2}}\backslash frac\{175\}\{x-2\}$ шиллингов с человека оплачено реально.

Известно, что каждому пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{175}{x}+10=\frac{175}{x-2} \mathrm{/}·x\left(x-2\right) \\ 175\left(x-2\right)+10x\left(x-2\right)=175x \\ 175x-350+10x^2-20x-175x=0 \\ 10x^2-20x-350=0 \mathrm{/}:10 \\ {x}^2-2x-35=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-35\right)=4+140=144 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{144}}{2}; x=\frac{2\pm 12}{2} \end{gathered}$$

$x_1=7; x_2=-5$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 7 человек

Пусть $x$ — это первоначальное количество человек, которые обедали вместе. Общая сумма счёта составляет 175 шиллингов.

Если бы все заплатили, то каждый человек должен был бы уплатить $ \frac{175}{x} $ шиллингов.

По условию задачи, у двоих человек не оказалось денег, поэтому платили только $x-2$ человека. Каждый из заплативших внёс сумму, равную $ \frac{175}{x-2} $ шиллингов.

Известно, что каждому из заплативших пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю первоначально. На основе этого мы можем составить уравнение:

$ \frac{175}{x-2} = \frac{175}{x} + 10 $

Для решения уравнения перенесём слагаемое с $x$ в левую часть:

$ \frac{175}{x-2} - \frac{175}{x} = 10 $

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$ \frac{175x - 175(x-2)}{x(x-2)} = 10 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{175x - 175x + 350}{x^2 - 2x} = 10 $

$ \frac{350}{x^2 - 2x} = 10 $

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 2x$ (при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne 2$, что соответствует условию задачи):

$ 350 = 10(x^2 - 2x) $

Разделим обе части на 10:

$ 35 = x^2 - 2x $

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 2x - 35 = 0 $

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -35. Подбираем корни: это 7 и -5.
Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2 $

Находим корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $

Поскольку $x$ представляет количество человек, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, первоначальное количество человек равно 7.

Проверим решение:
Изначально 7 человек должны были заплатить по $175 / 7 = 25$ шиллингов.
Двое не заплатили, поэтому оставшиеся $7 - 2 = 5$ человек заплатили по $175 / 5 = 35$ шиллингов.
Разница составляет $35 - 25 = 10$ шиллингов, что соответствует условию задачи.

Ответ: 7 человек.