Номер 4, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 4, страница 137.

4. Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0?

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

$x^2+px+q=0$

Дискриминант этого уравнения D равен ${р}^2-4q.$
Пусть D>О. Тогда это уравнение имеет два корня:

$x_1=\frac{-p-\sqrt{D}}{2} \text{и} x_2=\frac{-p+\sqrt{D}}{2}.$

Найдём сумму и произведение корней:
$$\begin{gathered} x_1+x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}+\frac{-p+\sqrt{D}}{2}=\frac{-2p}{2}=-p \\ {x}_1·x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}·\frac{-p+\sqrt{D}}{2}= \\ =\frac{{(-p)}^2-{\left(\sqrt{D}\right)}^2}{4}=\frac{p^2-(p^2-4q)}{4}=\frac{4q}{4}=q \end{gathered}$$

Итак, $x_1+x_2=-p, x_1·x_2=q$

Теорема доказана.

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c=0 \\ {x}_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1{x}_2=\frac{c}{a} \end{gathered}$$

Формулировка теоремы Виета

Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Теорему принято формулировать для двух случаев: для приведенного и для полного квадратного уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ равна его второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену ($q$). Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то справедливы следующие равенства:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Для полного (общего) квадратного уравнения:

Сумма корней полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \ne 0$) равна отношению коэффициента $b$ к коэффициенту $a$, взятому со знаком минус. Произведение корней равно отношению свободного члена $c$ к коэффициенту $a$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Эта теорема верна в случае, если квадратное уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

Ответ: Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, то их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$. Для общего случая $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Доказательство теоремы Виета

Докажем теорему для общего случая — полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \ne 0$). Пусть данное уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$.

Любой квадратный трехчлен, имеющий корни, может быть разложен на множители. Таким образом, мы можем записать следующее тождество:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Теперь раскроем скобки в правой части этого тождества:

$a(x - x_1)(x - x_2) = a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2) = a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

Распределим множитель $a$ по членам в скобках:

$a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2$

Мы получили тождественное равенство двух многочленов:

$ax^2 + bx + c = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2$

Два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной $x$. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены, получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} b = -a(x_1 + x_2) \\ c = a x_1 x_2 \end{cases}$

Из первого уравнения системы выразим сумму корней. Для этого разделим обе его части на $-a$ (это возможно, так как $a \ne 0$):

$x_1 + x_2 = \frac{b}{-a} = -\frac{b}{a}$

Из второго уравнения системы выразим произведение корней, разделив обе его части на $a$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Таким образом, теорема Виета доказана.

Ответ: Доказательство основано на тождественном разложении квадратного трехчлена на множители $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ и последующем приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях переменной $x$ в левой и правой частях полученного тождества.

Сумма и произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$

Для полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$, и при условии, что оно имеет корни (обозначим их $x_1$ и $x_2$), сумма и произведение этих корней выражаются через коэффициенты уравнения $a, b, c$ следующим образом:

1. Сумма корней:

Сумма корней равна отношению коэффициента при $x$ ($b$) к старшему коэффициенту ($a$), взятому с противоположным знаком.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

2. Произведение корней:

Произведение корней равно отношению свободного члена ($c$) к старшему коэффициенту ($a$).

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Эти формулы являются непосредственным результатом теоремы Виета, доказанной выше.

Ответ: Сумма корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна $-\frac{b}{a}$, а их произведение равно $\frac{c}{a}$.