Номер 584, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 584, страница 135.

584. Один из корней уравнения x² – 13х + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.

$$\begin{gathered} x^2-13x+q=0, x_1=12,5 \\ {x}_1+x_2=13; \\ 12,5+x_2=13; \\ {x}_2=0,5 \\ q=x_1·x_2=12,5·0,5=6,25 \\ \text{Ответ:} 0,5; q=6,25 \end{gathered}$$

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 - 13x + q = 0$ коэффициенты равны: $p = -13$ и $c = q$. По условию, один из корней равен 12,5. Обозначим его как $x_1 = 12,5$.

Нахождение другого корня

Согласно теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком:
$x_1 + x_2 = -(-13) = 13$
Подставим известное значение корня $x_1 = 12,5$ в это равенство:
$12,5 + x_2 = 13$
Отсюда находим второй корень $x_2$:
$x_2 = 13 - 12,5$
$x_2 = 0,5$
Ответ: другой корень равен 0,5.

Нахождение коэффициента q

Согласно теореме Виета, произведение корней равно свободному члену $q$:
$x_1 \cdot x_2 = q$
Мы уже нашли оба корня: $x_1 = 12,5$ и $x_2 = 0,5$. Подставим их значения в формулу, чтобы найти $q$:
$q = 12,5 \cdot 0,5$
$q = 6,25$
Ответ: коэффициент $q$ равен 6,25.