Номер 585, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 585, страница 135.

585. Один из корней уравнения 5x² + bx + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.

$$\begin{gathered} 5x^2+bx+24=0, x_1=8 \\ {x}^2+\frac{b}{5}x+\frac{24}{5}=0 \\ {x}_1·x_2=\frac{24}{5}; 8·x_2=\frac{24}{5}; x_2=\frac{24}{5}:8; x_2=\frac{24}{5·8} \\ {x}_2=\frac{3}{5}; x_2=0,6 \\ {x}_1+x_2=-\frac{b}{5}; 8+0,6=-\frac{b}{5}; 8,6=-\frac{b}{5} \\ b=-5·8,6=-43 \end{gathered}$$

Ответ: 0,6; b=-43

Дано квадратное уравнение $5x^2 + bx + 24 = 0$ и один из его корней $x_1 = 8$. Необходимо найти второй корень $x_2$ и коэффициент $b$. Для решения задачи удобнее всего воспользоваться теоремой Виета.

Для общего вида квадратного уравнения $ax^2 + Bx + C = 0$ теорема Виета устанавливает связь между корнями ($x_1$, $x_2$) и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=5$, $B=b$ (неизвестный коэффициент) и $C=24$.

другой корень

Чтобы найти второй корень $x_2$, воспользуемся формулой для произведения корней, так как она не содержит неизвестный нам коэффициент $b$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{a}$

Подставим известные значения $x_1 = 8$, $a = 5$ и $C = 24$ в формулу:

$8 \cdot x_2 = \frac{24}{5}$

Теперь решим это уравнение относительно $x_2$:

$x_2 = \frac{24}{5 \cdot 8} = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: другой корень равен 0.6.

коэффициент b

Теперь, зная оба корня ($x_1 = 8$ и $x_2 = 0.6$), мы можем найти коэффициент $b$ с помощью формулы для суммы корней.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставим известные значения корней и коэффициента $a$:

$8 + 0.6 = -\frac{b}{5}$

$8.6 = -\frac{b}{5}$

Выразим $b$ из этого уравнения:

$b = -8.6 \cdot 5$

$b = -43$

Ответ: коэффициент $b$ равен -43.