Номер 574, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 574, страница 131.

574. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{8a^3-27}{9-12a+4a^2}=\frac{(2a-3)(4a^2+6a+9)}{{(2a-3)}^2}= \\ =\frac{4a^2+6a+9}{2a-3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{ax-2x-4a+8}{3a-6-ax+2x}=\frac{(ax-2x)-(4a-8)}{(3a-6)-(ax-2x)}= \\ =\frac{x(a-2)-4(a-2)}{3(a-2)-x(a-2)}=\frac{(a-2)(x-4)}{(a-2)(3-x)}=\frac{x-4}{3-x} \end{gathered}$$

а)

Чтобы сократить дробь $ \frac{8a^3 - 27}{9 - 12a + 4a^2} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $ 8a^3 - 27 $ является разностью кубов. Применим формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $.
В нашем случае $ x = 2a $ и $ y = 3 $.
$ 8a^3 - 27 = (2a)^3 - 3^3 = (2a - 3)((2a)^2 + 2a \cdot 3 + 3^2) = (2a - 3)(4a^2 + 6a + 9) $.

Знаменатель $ 9 - 12a + 4a^2 $ является полным квадратом. Перепишем его в стандартном виде: $ 4a^2 - 12a + 9 $.
Применим формулу квадрата разности $ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.
В нашем случае $ x = 2a $ и $ y = 3 $.
$ 4a^2 - 12a + 9 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = (2a - 3)^2 $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$ \frac{(2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)}{(2a - 3)^2} $

Сократим общий множитель $ (2a - 3) $ (при условии, что $ 2a - 3 \neq 0 $, то есть $ a \neq \frac{3}{2} $):
$ \frac{\cancel{(2a - 3)}(4a^2 + 6a + 9)}{(2a - 3)^{\cancel{2}}} = \frac{4a^2 + 6a + 9}{2a - 3} $.

Ответ: $ \frac{4a^2 + 6a + 9}{2a - 3} $

б)

Чтобы сократить дробь $ \frac{ax - 2x - 4a + 8}{3a - 6 - ax + 2x} $, разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.

Разложим на множители числитель $ ax - 2x - 4a + 8 $:
$ (ax - 2x) + (-4a + 8) = x(a - 2) - 4(a - 2) = (a - 2)(x - 4) $.

Разложим на множители знаменатель $ 3a - 6 - ax + 2x $:
$ (3a - 6) + (-ax + 2x) = 3(a - 2) - x(a - 2) = (a - 2)(3 - x) $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$ \frac{(a - 2)(x - 4)}{(a - 2)(3 - x)} $

Сократим общий множитель $ (a - 2) $ (при условии, что $ a - 2 \neq 0 $, то есть $ a \neq 2 $):
$ \frac{\cancel{(a - 2)}(x - 4)}{\cancel{(a - 2)}(3 - x)} = \frac{x - 4}{3 - x} $.

Ответ: $ \frac{x - 4}{3 - x} $