Номер 569, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 569, страница 130.

569. Число диагоналей p выпуклого многоугольника вычисляется по формуле p =n(n - 3)2 где n — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?

Пусть n-число сторон многоугольника, тогда n+25 диагоналей в этом многоугольнике. Зная, что число диагоналей выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $p=\frac{n(n-3)}{2},$ составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{n(n-3)}{2}=n+25 \\ {n}^2-3n=2n+50 \\ {n}^2-3n-2n-50=0 \\ {n}^2-5n-50=0 \\ D={(-5)}^2-4·1·(-50)=25+200=225 \\ n=\frac{5\pm \sqrt{225}}{2}; n=\frac{5\pm 15}{2} \end{gathered}$$

n=10 или n=-5 - не удовлетворяет условию задачи n>0

Ответ: в десятиугольнике

Пусть $n$ — искомое число сторон выпуклого многоугольника. По определению, $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3 ($n \ge 3$).

Число диагоналей $p$ такого многоугольника вычисляется по формуле: $p = \frac{n(n-3)}{2}$

Согласно условию задачи, число диагоналей на 25 больше числа сторон. Математически это можно записать как: $p = n + 25$

Чтобы найти $n$, приравняем два выражения для $p$: $\frac{n(n-3)}{2} = n + 25$

Решим полученное уравнение. Сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $n(n-3) = 2(n + 25)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $n^2 - 3n = 2n + 50$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $an^2 + bn + c = 0$: $n^2 - 3n - 2n - 50 = 0$ $n^2 - 5n - 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $n_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Число сторон многоугольника $n$ не может быть отрицательным, поэтому корень $n_2 = -5$ не является решением задачи.

Таким образом, искомый многоугольник имеет 10 сторон.

Проверим результат: Для многоугольника с 10 сторонами ($n=10$) число диагоналей равно: $p = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$. Число сторон равно 10. Разница между числом диагоналей и числом сторон: $35 - 10 = 25$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: в десятиугольнике.