Номер 571, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 571, страница 131.

571. В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии.

Пусть x - число участников турнира, тогда каждый сыграл x-1 партию. Зная, что всего было сыграно 45 партий и каждый участник сыграл с каждым по одной партии, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{x(x-1)}{2}=45 \\ {x}^2-x=90 \\ {x}^2-x-90=0 \\ D={(-1)}^2-4·1·(-90)=1+360=361 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{361}}{2}; x=\frac{1\pm 19}{2} \end{gathered}$$

x=10 или x=-9 - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 10 участников

Пусть $n$ — искомое число участников шахматного турнира.

По условию задачи, каждый участник сыграл с каждым другим участником ровно одну партию. Это означает, что общее количество сыгранных партий равно числу всех возможных пар участников, которые можно составить из $n$ человек. Данная величина в комбинаторике называется числом сочетаний из $n$ по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по 2 ($C_n^2$) имеет вид:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Нам известно, что общее количество сыгранных партий равно 45. Составим уравнение, приравняв формулу для числа партий к известному их количеству:

$\frac{n(n-1)}{2} = 45$

Чтобы решить это уравнение, сначала умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 90$

Теперь раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 - n = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Теперь вычислим корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 19}{2}$

У нас есть два возможных корня:

$n_1 = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку число участников турнира ($n$) не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -9$ не является решением задачи. Следовательно, единственно верное решение — $n_1 = 10$.

Проверка: если в турнире 10 участников, то количество партий составит $\frac{10 \times (10 - 1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 10.