Номер 571, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

571. В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии.

Пусть x - число участников турнира, тогда каждый сыграл x-1 партию. Зная, что всего было сыграно 45 партий и каждый участник сыграл с каждым по одной партии, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{x(x-1)}{2}=45 \\ {x}^2-x=90 \\ {x}^2-x-90=0 \\ D={(-1)}^2-4·1·(-90)=1+360=361 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{361}}{2}; x=\frac{1\pm 19}{2} \end{gathered}$$

x=10 или x=-9 - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 10 участников

Пусть $x$ — число участников шахматного турнира. Так как каждый участник сыграл с каждым по одной партии, и в каждой партии участвуют два человека, общее число сыгранных партий равно половине произведения числа участников на число партий, сыгранных каждым участником с остальными: $\frac{x(x - 1)}{2} = 45$

Умножим обе части уравнения на $2$, чтобы избавиться от дроби: $x(x - 1) = 90$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 - x - 90 = 0$ Для решения уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня: $x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ $x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$ Корень $x = -9$ не удовлетворяет условию задачи, так как количество участников не может быть отрицательным числом. Следовательно, в турнире участвовало $10$ человек.

Ответ: 10 участников.